2.2 Температурный градиент

Если соединить точки тела, имеющие одинаковую температуру, получим поверхность равных температур, которая называется изотермической. Итак, изотермической поверхностью называется геометрическое место точек в температурном поле, имеющих одинаковую температуру.

Пересечение изотермических поверхностей плоскостью дает на этой плоскости семейство изотерм. Изобразим изотермические линии со значения-

ми температур: t + t, t, t – t. Очевидно, температура в теле изменяется только в направлениях, пересекающих изотермические поверхности. Возьмем на изотермической линии некоторую точку Р. Проведем из точки Р нормаль к изотермической поверхности. Возрастание температуры в направлении нормали к изотермической поверхности характеризуется градиентом температуры.

Градиент температуры – это вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной от температуры по этому направлению, т.е.:

,

где – единичный вектор, нормальный к изотермической поверхности и направленный в сторону возрастания температуры.

Производная в направлении убывания температуры отрицательна.

2.3 Тепловой поток

Количество теплоты, проходящее в единицу времени через произвольную поверхность F, называется тепловым потоком и обозначается буквой Q. Единицей измерения теплового потока обычно служит Дж/с, т.е. Вт.

Количество теплоты, передаваемое за произвольный промежуток времени  через произвольную поверхность F, называется полным тепловым потоком и обозначается Q_.

Интенсивность переноса теплоты характеризуется плотностью теплового потока – это количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади произвольной поверхности. Эта величина обозначается через q и измеряется в Вт/м²:

.

2 Лекция № 2

Тема: «Стационарная теплопроводность»

1.2.1 Вопросы лекции:

1. Передача теплоты через плоскую стенку и граничных условиях I рода.

2. Передача теплоты через многослойную плоскую стенку и граничных условиях I рода.

3. Передача теплоты через плоскую однослойную и многослойную стенки и граничных условиях III рода.

1.2.2 Краткое содержание вопросов:

1. Передача теплоты через плоскую стенку и граничных

условиях I рода

Рассмотрим однородную и изотропную стенку толщиной  с постоянным коэффициентом теплопроводности . На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянными температуры tc1 и tc2. Следовательно, температура будет изменяться только в направлении оси Ох, а температура в направлении осей Oy и Oz будет оставаться постоянной:

.

В связи с этим температура будет функцией только одной координаты х (t = f(x)) и дифференциальное уравнение теплопроводности запишется в виде:

.

Граничные условия в рассматриваемой задаче задаются следующим образом:

t = t_c1 при х = 0;

t = t_c2 при х = .

В результате решения поставленной задачи найдем распределение температуры в плоской стенке, то есть t = f(x), а также получим формулу для определения плотности теплового потока.

Первое интегрирование дает:

.

После второго интегрирования получим:

– уравнение прямой линии.

Следовательно, при  = const закон изменения температуры при прохождении теплоты через плоскую стенку будет линейным.

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ определяем из граничных условий:

при х = 0 t = t_c1  С₂ = t_c1;

при х =  t = t_c2 .

Тогда закон распределения температуры в рассматриваемой плоской стенке имеет следующую запись:

.

Для определения плотности теплового потока в направлении оси Ох, воспользуемся законом Фурье, согласно которому:

.

Так как , то

.

Из полученного уравнения следует, что количество теплоты, проходящее через единицу поверхности в единицу времени, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности , разности температур поверхностей стенки и обратно пропорционально толщине стенки .

Величина, численно равная отношению разности температур между двумя изотермическими поверхностями тела к плотности теплового потока в какой-либо точке на одной из этих поверхностей, называется внутренним термическим сопротивлением, м²К/Вт:

.

Общее количество теплоты Q_, которое передается через поверхность стенки F за промежуток времени :

.

Кроме того, уравнение температурного поля может быть записано в виде:

.

Из этого выражения следует, что при прочих равных условиях температура в стенке убывает тем быстрее, чем больше плотность теплового потока.

Полученные выражения справедливы, когда  = const.

В действительности  является переменной величиной. Для многих материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры близка к линейной:

,

где ₀ – значение коэффициента теплопроводности при 0 С.

Тогда плотность теплового потока будет равна:

.

Введя обозначение , получим

,

где _ср – среднеинтегральное значение коэффициента теплопроводности.

Выражение для температурного поля имеет вид:

.