1.3 Интерполяционный полином в форме Лагранжа

Интерполяционный полином, очевидно, можно построить в форме
		(8)
где gi(x) - многочлен n-ой степени, обладающий следующим свойством:
	для (i,j) = 0,1,...,n ,	(9)
Свойством (8), в частности, обладает полином вида:
		(10)
Тогда:		(11)
	где	(12)

Выражения (11) и (12) совместно образуют интерполяционную формулу Лагранжа. Отметим, что коэффициенты Лагранжа (9) не зависят от значений интерполируемой функции в узлах. Это существенно снижает вычислительные затраты при интерполировании системы функций на общей сетке.

1.4 Результаты и графики

Находим r, кДж/кг методом линейной интерполяции

t, °C	r, кДж/кг
0	1263
10	1227
20	1188
30	1146
40	1101
32	?
r(t=32°C)	1137

Находим r, кДж/кг методом полиномиальной интерполяции

r(x0,x1)	-3,6		r(t=32)
r(x1,x2)	-3,9		1137,24
r(x0,x1,x2)	-0,015
r(x2,x3)	-4,2
r(x1,x2,x3)	-0,015
r(x0,x1,x2,x3)	-7,51714E-19
r(x3,x4)	-4,5
r(x2,x3,x4)	-0,015
r(x1,x2,x3,x4)	-7,51714E-19
r(x0,x1,x2,x3,x4)	0

e%

0,02%

Относительная погрешность

Схема Горнера
t	r
38,7	1107,02
Пример Решения Схема Горнера
f(x)=1263+(38,7-0)*(-3,6+(38,7-10)*(-0,015+(38,7-20)*(-7,51714E-19+(38,7-30)*0)))

Поэтому в качестве приближенного значения   естественно взять интегральную сумму  ,т.е. положить:

а также

т.е                                      (1)

и                                           (1')

Эти приближенные равенства называются формулами прямоугольников.

В том случае, когда f(x)  0, формулы (1) и (1’) с геометрической точки зрения означают, что площадь криволинейной трапеции aABb, ограниченной дугой кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х=а и х=b, принимается приближенно равной площади ступенчатой фигуры, образованной из n прямоугольников с основаниями   и высотами: y₀, y₁, y₂, …, y_n-1 – в случае формулы (1) (рис.8) и y₁, y₂, y₃, …, y_n – в случае формулы (1') (рис.9).

Исходя из приведенного выше геометрического смысла формул (1) и (1') способ приближенного вычисления определенного интеграла по этим формулам принято называть методом прямоугольников.

Всякое приближенное вычисление имеет определенную ценность лишь тогда, когда оно сопровождается оценкой допущенной при этом погрешности. Поэтому формулы прямоугольников будут практически пригодны для приближенного вычисления интегралов лишь в том случае, если будет существовать удобный способ оценки получающейся при этом погрешности (при заданном n), позволяющий к тому же находить и число частей n разбиения сегмента, гарантирующее требуемую степень точности приближенного вычисления.

Будем предполагать, что функция f(x) имеет ограниченную производную на сегменте [a, b], так что существует такое число М>0, что для всех значений х из [a, b] выполняется неравенство |f'(x)| M. Качественный смысл этого неравенства заключается в том, что скорость изменения значения функции ограничена. В реальных природных системах это требование практически всегда выполнено. В этих условиях абсолютная величина погрешности R_n, которую мы допускаем, вычисляя интеграл   по формуле прямоугольников может быть оценена по формуле [27]:

|R_n|   M(b-a)²/2n                                       (2)

При неограниченном возрастании n выражение M(b-a)²/2n, а, следовательно, и абсолютная величина погрешности R_n будет стремиться к нулю, т.е. точность приближения будет тем больше, чем на большее число равных частей будет разделен сегмент [a, b]. Абсолютная погрешность результата будет заведомо меньше заданного числа  >0, если взять

n > M(b-a)²/2  .

Следовательно, для вычисления интеграла   с указанной степенью точности достаточно сегмент [a, b] разбить на число частей, большее числа M(b-a)²/2  .

Метод прямоугольников – это наиболее простой и вместе с тем наиболее грубый метод приближенного интегрирования. Заметно меньшую погрешность дает другой метод – метод трапеций.