Обратная матрица.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается .

Рассмотрим условие существования матрицы, обратной к данной, и способ ее вычисления.

Теорема. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.

Алгоритм построения обратной матрицы

1. Вычисляем определитель матрицы .

2. Если , то матрица не имеет обратной, а если , то переходим к пункту 3.

3. Вычисляем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы и, записывая алгебраические дополнения элементов строк в столбцы, находим союзную матрицу .

4. Находим обратную матрицу по формуле .

Пример. Найдем матрицу, обратную к

следовательно, матрица А невырожденная. Найдем алгебраические дополнения к ее элементам:

Не забудем, что алгебраические дополнения к элементам строки матрицы А образуют в обратной матрице столбец с тем же номером. Итак, Можно убедиться, что найденная матрица действительно удовлетворяет определению Найдем

Тот же результат получим и при перемножении в обратном порядке.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Что называется матрицей?

2. Какие матрицы называются квадратными?

3. Какая матрица называется диагональной?

4. Какая матрица называется единичной?

5. Какая матрица называется матрицей-столбцом?

6. Какая матрица называется матрицей-строкой?

7. Какая матрица называется трапециевидной?

8. Какая матрица называется верхней треугольной?

9. Какая матрица называется нижней треугольной?

10. Назовите действия над матрицами.

11. Как происходит сложение двух матриц?

12. Как умножить матрицу на число?

13. Как умножить две матрицы?

14. Как происходит транспонирование матрицы?

15. Что называется определителем матрицы?

16. Для какой матрицы можно найти определитель?

17. Какая матрица называется невырожденной?

18. Назовите свойства определителя?

19. Как вычисляется определитель второго порядка?

20. Как вычисляется определитель третьего порядка?

Домашнее задание: [1] ч.3, §13.1, №2.1, §13.2, №2.1