Задача 22 Варианты 1–10

Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение которой имеет форму равнобочной трапеции (рис. 2). Плотность воды кг/м³, ускорение свободного падения положить равным 10 м/с².

У к а з а н и е. Давление на глубине равно .

22.1. 22.2.

22.3. 22.4.

22.5. 22.6.

22.7.

22.8.

22.9.

22.10.

Варианты 11–20

Определить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с поверхности Земли на высоту км. Масса спутника равна т, радиус Земли км. Ускорение свободного падения у поверхности Земли положить равным 10 м/с².

22.11. 22.12.

22.13. 22.14.

22.15. 22.16.

22.17. 22.18.

22.19. 22.20.

Варианты 21–31

Цилиндр наполнен газом под атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ идеальным, определить работу (в джоулях) при изотермическом сжатии газа поршнем, переместившимся внутрь цилиндра на м (рис. 3).

У к а з а н и е. Уравнение состояния газа , где – давление, – объем.

22.21.

22.22.

22.23.

22.24.

22.25.

22.26.

22.27.

22.28.

22.29.

22.30.

22.31.

V. Дифференциальные уравнения Теоретические вопросы

1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к однородным.

3. Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли.

4. Уравнения в полных дифференциалах.

5. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка методом изоклин.

6. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решения. Общий и частный интегралы.

7. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

8. Линейный дифференциальный оператор, его свойства. Линейное однородное дифференциальное уравнение, свойства его решений.

9. Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций. Необходимое условие линейной зависимости системы функций.

10. Условие линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения.

11. Линейное однородное дифференциальное уравнение. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

12. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Структура общего решения.

13. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

14. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (случай простых корней характеристического уравнения).

15. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (случай кратных корней характеристического уравнения).

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора.

Теоретические упражнения

1. Пусть — решение дифференциального уравнения . Показать, что введение новой искомой функции приводит к дифференциальному уравнению, допускающему понижение порядка.

2. Написать уравнение линии, на которой могут находиться точки перегиба графиков решений уравнения .

3. Написать уравнение линии, на которой могут находиться точки графиков решений уравнения , соответствующие максимумам и минимумам. Как отличить максимум от минимума?

4. Линейное дифференциальное уравнение останется линейным при замене независимой переменной , где функция произвольная, но дифференцируемая достаточное число раз: Доказать это утверждение для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

5. Доказать, что линейное дифференциальное уравнение остается линейный при преобразовании искомой функции

.

Здесь — новая искомая функция, и — произвольные, но достаточное число раз дифференцируемые функции.

6. Составить общее .решение уравнения , если известно ненулевое частное решение этого уравнения.

7. Показать, что произвольные дважды дифференцируемые функции и являются решениями линейного дифференциального уравнения.

8. Составить однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее решения , .

Показать, что функции и линейно -независимы в интервале .

Убедиться в том, что определитель Вронского для этих функций равен нулю в точке . Почему это не противоречит необходимому условию линейной независимости системы решений линейного однородного дифференциального уравнения?

9. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка, если известны три линейно-независимые частные его решения , и .

10. Доказать, что для того чтобы любое решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяло условию , необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части.