Модель Андерсона уединенной примеси

Модель Андерсона – это модель, которая описывает микроскопический механизм возникновения локализованных магнитных моментов на примесных атомах переходных металлов в немагнитной матрице [6-8]. Для записи гамильтониана модели используется метод вторичного квантования. Суть метода вторичного квантования в том, что вместо волновых функций частиц в координатном или импульсном представлении вводятся волновые функции в представлении чисел заполнения различных состояний одной частицы. Переходы между различными состояниями одной частицы при этом описываются как уменьшение числа заполнения, соответствующего одной волновой функции, на единицу, и увеличение числа заполнения другого состояния на единицу.

Гамильтониан модели, записанный в представлении вторичного квантовании, имеет вид:

Здесь – энергия электрона с квазиимпульсом Оператор ( ) создает (уничтожает) электрон в зоне проводимости с квазиимпульсом , а – оператор числа частиц. Таким образом первый элемент гамильтониана есть энергия электронов s-зоны. Если схематично изобразить плотность состояний (рис. 1) то первый элемент дает широкую s-зону. Аналогично вводится вторая сумма для d-электронов, которая дает узкую d-зону (Рис. 1.). Следущее слагаемое – это так называемый член sd-гибридизации. Он соответсвует переходу электрона из состояния, локализованного в d-зоне, в зону проводимости и наоборот. При учете sd-гибридизации d-зона примеси расширяется (Рис. 2.). Здесь – матричный элемент перескока электрона из одной зоны в другую. Четвертая сумма описывает перескоки электронов с узла с номером i на узел с номером j. Тогда плотность состояний, при учете d-d-взаимодействия, будет иметь вид двух лоренцевских контуров, расположенных, в случае ОЦК решетки, на расстоянии друг от друга. И последнее слагаемое – это кулоновское взаимодействие между электронами с противопложно направленными спинами. Здесь U – внутриатомное кулоновское отталкивание. Именно это член играет принципиальную роль в возникновении магнитных моментов. Под действием кулоновского отталкивания, подзоны для соответсвующих спинов сдвигаются друг относительно друга, причем одна из подзон, лежащяя ниже уровня Ферми является более заполненной, а другая, лежащая выше уровня Ферми, является более пустой (Рис. 4.). При этом в процессе самосогласования может получиться несколько магнитных решений.

Рис. 1. Плотность состояний для s и d электронов	Рис. 2. Плотность состояний при учете sd-гибридизации
Рис. 3. Плотность состояний при учете d-d-взаимодействия	Рис. 4. Плотность состояний при учете кулоновского отталкивания электронов с разными спинами.

Впервые модель была введена Андерсоном, когда он рассматривад случай уединенной примеси, в которой отсутствовало d-d-взаимодействие,т.е. коэффециенты перескоков были равны нулю. Для нахождения решения такой модели Андерсон использовал метод функции Грина для уравнения Шредингера для фермионов:

Физический смысл функции Грина состоит в следующем. Она представляет собой пропагатор, т.е. амплитуду вероятности того, что если в момент в систему в основном состоянии добавлена частица в точку r1, то в момент t2>t1 система будет находиться в состоянии с частицей в точке r2. Одним из методов нахождения функции Грина является построение цепочки дифференциальных уравнений. При этом в общем случае при учете кулоновского взаимодействия оказывается, что одночастичная функция Грина выражается через двухчастичную. Уравнение для двухчастичной функции Грина содержит трехчастичную и т.д. Обычно эту цепочку разрывают, предполагая, например, что двухчастичная функция выражается через произведение одночастичных и решая уравнение для одночастичной функции Грина. Чтобы найти решение такой модели, Андерсон использовал приближение Хартри-Фока. Основная идея такого подход заключается в том, что каждый электрон двигается в некотором усредненном поле, создаваемом всеми остальными электронами. В этом приближении оператор числа частиц в последнем слагаемом заменяется средним числом частиц:

)

Подставим это приближение в формулу для гамильтониана:

, где

Тогда уравнение для функции Грина в матричном виде будет:

, где

Находим из системы уравнений диагональные матричные элементы функции Грина:

,

Получившейся функция Грина может рассматриваться как комплексная функция комплексного аргумента  , через мнимую часть от которой вблизи вещественной оси выражается плотность d-электронных состояний. Действительно, в общем случае плотность состояний представляет собой сумму δ-функций:

Где суммирование ведется по всем квантовым состояниям системы и в случае непрерывного спектра сумма переходит в интеграл

Рассмотрим мнимую часть функции Грина для системы с одним состоянием с энергией Е:

Тогда плотность состояний для электронов с проекцией спина σ в модели уединенной примеси представляет собой лоренцевский контур с шириной равной

Для d-электронов с проекцией спина имеем

где - энергия электронов с проекцией спина

(1)

Чтобы найти число электронов проинтегрируем плотность состояний:

Для удовлетворения условий самосогласования необходимо решить систему:

Здесь для замыкания уравнений для чисел заполнения используется выражение для энергии (1). Таким образом, задача сводится к нахождению точек пересечения графиков функций и . Андерсон показал, что в зависимости от параметров модели, возможны либо одно немагнитное решение (рис. 5б), когда , либо три решения, одно из которых также немагнитное (рис. 5а.).

Рис. 5. График самосогласованных решений для чисел заполнения с параметрами:

а) , ( ; б) , (