II. Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак

Доказательство. Пусть Тогда

1. , так как равны площади параллелограммов, построенных на векторах и ;

2. Векторы и перпендикулярны векторам и ;

3. Векторы и коллинеарны, но противоположно направлены.

Из (1)-(3) следует, что , то есть 

2.  ассоциативность относительно скалярного множителя, т.е. числовой множитель можно выносить за знак векторного произведения.

3.  дистрибутивность векторного умножения относительно сложения.

4. Условие коллинеарности векторов. Векторное произведение равно нулевому вектору, если хотя бы один из перемножаемых векторов нулевой или синус угла между ними равен нулю, т.е. векторы коллинеарны.

Итак, для того, чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.

III. Векторное произведение векторов, заданных координатами

Даны два вектора: = a_x + a_y + a_z и = b_x + b_y + b_z .

Найти: .

Предварительно найдем векторное произведение ортов:

a) .

Аналогично,

б) , 1) ,

2)

3) с конца поворот от к по кратчайшему пути виден против часовой стрелки;

(по свойству 1).

Аналогично: ; ;

; .

Тогда

.

 векторное произведение векторов, заданных координатами.

Пример 8.1. Дано: = 3 2 + , =  + 3 . Найти: а) ; б) .

Решение. а) = (3; 2; 1), = (1; 3; 0),

б) 

Пример 8.2. Найти , если A (0; 2; 1), B (1; 3; 4), C (2; 5; 2).

Самостоятельно: Деление отрезка в данном отношении.

Даны две точки пространства: и . Разделить отрезок в данном отношении Это значит найти на отрезе такую т. М, что (или .

Доказать, что координаты т. вычисляется по формулам:

Частный случай. Деление отрезка пополам.

Координаты середины отрезка:

§9. Линейные отображения. Преобразования координат.

I. Основные понятия

Пусть в плоскости Р задана прямоугольная система координат.

Координаты точек вместо х, у будем обозначать х₁, х₂ или у₁, у₂.

Пусть (1) – уравнения, связывающие переменные х₁,х₂ с переменными у₁, у₂. а₁₁, а₁₂, а₂₁,а₂₂ – постоянные.

Каждой т. М Р с координатами х₁,х₂ соответствует единственная т. N Р с координатами у₁,у₂, которые определяются по (1).

Точка N называется образом точки М. Если точка М описывает на плоскости Р некоторую линию L, то ее образ также описывает некоторую линию.

С помощью (1) устанавливается отображение или преобразование плоскости Р в себя. Это отображение называется линейным.

Обозначим А = ; Х = ; У = .

Тогда Y = A ( ) – запись (1) в матричной форме.

А = – матрица линейного отображения

– определитель линейного отображения

– координаты образа вектора при линейном отображении, заданном матрицей А.

Если матрица А – невырожденная, т.е. , то отображение называется невырожденным или аффинным.

Если , то отображение называется вырожденным.

Если отображение невырожденное, то по формулам Крамера получим:

(2)

По (1):

По (2): ед. т. М (х₁,х₂).

Итак, невырожденное (аффинное) отображение определяет взаимно-однозначное отображение плоскости Р в себя. Обратное отображение тоже невырожденное, а его матрица есть матрица, обратная А, т.е.

.

Формулы (2) можно получить другим способом:

Умножим (1¢) на А^-1:

Пример 9.1.

Линейное отображение задано в стандартном базисе матрицей А= . Тогда координатами образа вектора являются … Ответ: .

Замечание. В трехмерном пространстве линейное отображение определяется системой уравнений.

– в матричном виде.

При аффинном (невырожденном) отображении образом плоскости является плоскость, а образом прямой является прямая.

Итак, линейным преобразованием (линейным оператором) линейного пространства называется линейное отображение пространства L в себя. Если пространство L n-мерное и в нем выбран базис, то связь между координатами вектора и координатами его образа определяется системой:

или в матричной форме

_{, где}

А = – матрица линейного преобразования (отображения, линейного оператора).