4.3.2. Функция распределения и обеспеченности нормального закона распределения

Подставляя в формулу функции распределения (3.15) значение у по формуле (4.18), получаем для нормированного ряда значе­ний

(4.22)

Это выражение показывает вероятность того, что случайно вы­бранное значение из нормальной совокупности нормированного ряда меньше значения t, рассчитанного по заданному х.

Расчет вероятности непревышения заданной величины, очевидно, сводится к решению интеграла в правой части формулы (4.22). Этот интеграл не выражается через элементарные функции. Обычно для его вычисления пользуются таблицами специальной функции интеграла вероятностей или функции Лапласа

Ф(Z) = (4.23)

Функция F(x) связана с Ф(Z) (см. [64]) следующим соотношением:

(4.24)

где

Эта формула может быть использована для непосредственного расчета вероятности непревышения [64] и функции распределения.

Изображение кривой обеспеченности в поле декартовых координат имеет довольно сложные очертания и не дает четкого представления об изменении расходов в области малой и высокой обеспеченности. Поэтому обычно для анализа законов распределения применяют так называемые клетчатки вероятности. Чаще всего используются клетчатки вероятностей для кривых обеспеченности с умеренной асимметричностью. Построение их производится аналитическим или графическим способом [46] таким образом, чтобы кривая обеспеченности нормального закона распределения была линейной.

При использовании формулы расчета функции распределения (4.23) можно рассчитать вероятность попадания случайной вели­чины, подчиняющейся нормальному закону распределения, на за­данный участок значений X от α до β.

Действительно,

(4.25)

Подставляя в это выражение значения F(β) и F (α) по формуле (4.21), получаем

(4.26)

Рассчитаем, например, по этой формуле вероятность попадания величины X в интервалы ±σ, ±2σ, ±3σ:

(4.27)

Таким образом, если ряд X подчиняется нормальному закону распределения то с вероятностью 67,8 % возможные значения X лежат в пределах ± σ, с вероятность 95,6% в пределах ±2σ и с вероятностью 99,7% в преде­лах ±3σ:

0. 4.4. Распределение Пирсона III типа

1. 0. 4.4.1. Уравнение кривой распределения

Вернемся к анализу дифференциального уравнения Пирсона (4.3) для кривых плотности распределения вероятности центриро­ванных случайных величин, представленных в модульных коэффи­циентах. Для определения коэффициентов b_i в знаменателе правой части уравнения (4.3) была выведена система уравнений (4.11).

Пусть теперь случайная величина X является заведомо положи­тельной, т.е. х_мин ≥0, и положительно асимметричной. Заметим сразу, что положительная асимметричность распределения явля­ется характерным свойством многих геоэкологических рядов наб­людений. Так, например, значения концентрации растворенных веществ, стока воды и осадков, как правило, больше или равны нулю, и, следовательно, имеют положительную асим­метрию.

Как показано ранее (см. рис. 4.1),

(4.28)

Так как по условию k_мин ≥0, то естественно, что a+d ≤ 1. Предположим, что b₂ = b_з = ... = 0, тогда из системы (4.11) следует

(4.29)

Исходя из этих соотношений можно получить выражение радиуса асимметрии d через второй и третий моменты распределения. Действительно, заменив в третьем уравнении системы (4.27) b₁ на - d, получим

(4.30)

Теперь предположим, что в уравнении (4.3) b₂=bз = . . = 0, тогда, предварительно разделив переменные, получим

Затем, преобразуем подынтегральное выражение в правой части равенства, умножая числитель и знаменатель на b₁ и прибавляя и отнимая в числителе b_o. Тогда

и, решая интегралы в левой и правой частях, уравнения, получаем

(4.31)

Отсюда

(4.32)

Заметим теперь, что в левой крайней точке распределения, т. е. при минимальном значении z, у = 0. Тогда из уравнения (4.32) при z = z_мин получим b_o+b₁z_мин=O, т.е. при b₁≠0 для асиммет­ричного распределения z_мин = - bo/b₁.

Так как расстояние от z_мин до центра распределения т_к равно (a+d) (см. рис. 4.1), то можно записать

(4.33)

Используя соотношение (4.33) и определяя b₁ по системе (4.29), получаем

(4.34)

Перенесем начало отсчетов по оси абсцисс в точку, соответ­ствующую моде распределения. Тогда отсчеты относительно моды в случае положительной асимметрии

Преобразуем множитель уравнения (4.32), стоящий в скобках, заменив значения z на z' и подставив значение а по формуле (4.33).Тогда

(4.35)

Подставим выражения (4.34) и (4.35) в исходное уравнение (4.32)

(4.36)

Дальше для удобства будем обозначать z' через z, имея в виду, что z теперь — отсчет по оси абсцисс от моды. Преобразуем полу­ченное выражение, сгруппировав отдельно все параметры, не зави­сящие от z, и обозначив их через С. Тогда

y= C exp(-z/d)(1+z/a)^a/d (4.37)

При z = 0, т. е. в моде распределения значение у (плотность вероятности) будет максимальным. Обозначим это значение через у_о. Из уравнения (4.35) получаем для z= 0, у_о=с. Тогда оконча­тельный вид уравнения кривой Пирсона III типа при отсчете z относительно моды распределения

(4.38)

где у_о — максимальная ордината распределения.

Выразим теперь параметры a и d через C_v и C_s. При этом, согласно формулам (3.32), (3.33) в данном случае,

Подставим эти выражения моментов в формулу (4.28). Тогда радиус асим­метрии

(4.39)

После подстановки в формулу (4.33) значений b_o и b₁ из системы (4.27) получим

(4.40)

Из формул (4.33) и (4.40) следует, что расстояние от центра распределения до его левого конца

(4.41)

В соответствии с формулой (4.26) a+d=1-к_мин Отсюда получаем выражение, связывающее коэффициент асимметрии с величиной к_мин,

(4.42)

Из формулы (4.42) следует, что C_s ≥2 C_v, а если k_мин=0, то C_s =2 C_v.

Таким образом значения C_s для кривой Пирсона III типа всегда больше или равны 2C_V.

4.4.2. Запись уравнения кривой распределения Пирсона III типа через гамма-функцию

Вернемся к уравнению кривой Пирсона III типа относительно центра тяжести (4.30) и перенесем начало отсчета по оси абсцисс в точку z_мин где плотность вероятности у = 0. Тогда расстояние по оси абсцисс в новой си­стеме координат будет следующим:

(4.43)

где z — отсчет от центра распределения т_k = 1.

С учетом формул (4.34) и (4.43) получим для значения суммы в скобках формулы (4.35) следующие выражения:

(4.44)

(4.45)

Подставляя эти значения в формулу (4.34), получаем

(4.46)

Сгруппируем параметры, не зависящие от z, и обозначим их через сводный параметр с, а z’ – через z, тогда

(4.47)

Выразим теперь значения d и a через C_s и C_v [см. формулы (4.39) и (4.40)]

(4.48)

и обозначим

(4.49)

Тогда

(4.50)

Можно показать, что

(4.51)

где Г(α) – гамма-функция [16].

После подстановки значения с в уравнение (4.50) получаем уравнение биномиальной кривой распределения или кривой Пирсона III типа для условия C_s = 2C_V в отсчетах z от нуля графика (К_мин = 0). С достаточной точностью, так как возможное К_мин для многих рядов стока достаточно близко к нулю, это уравнение можно использовать и для случая, когда C_s > 2C_V

(4.52)

Запись кривой Пирсона III типа через гамма-функцию нередко называют трехпараметричсским гамма-распределением. При использовании его следует учитывать, что X задается в модульных коэффициентах.

Если принять, что C_s = 2C_v то из формул (4.37), (4.38) по­лучаем

(4.53)

и тогда

(4.54)

Полученное для частного случая C_S = 2C_V распределение называется гамма-распределением. В этом случае z_i = k_i.