5.3. Метод наибольшего правдоподобия

5.3.1. Общие положения

Метод разработан датским математиком Р. Фишером и впервые в отечественной гидрологии применен С. Н. Крицким и М. Ф. Менкелем для определения параметров функций обеспеченности стока по исходным рядам с большим коэффициентом вариации. В дальнейшем большой вклад в развитие этого метода в гидрологии внес Е. Г. Блохинов [ ]

Метод основан на следующих положениях: пусть имеем выборку значений X объемом в п членов. Плотностью распределения вероятностей X является функция f(x, а), зависящая, допустим, от одного постоянного параметра а; если задан закон распределения и верно определен параметр а, то вероятность получить значения данного ряда X по параметру а является максимальной.

Функция правдоподобия – совместная плотность вероятности, или вероятность получить именно данную выборку при данном а в результате п опытов:

(5.19)

где П — знак произведения.

В случае, если случайная величина X — дискретная с возможными значениями ζ₁, ζ₂,..., ζ_l, а т₁, т₂, . . ., т_l — соответственно число опытных значений X, равных ζ₁, ζ₂,..., ζ_l, то функция правдоподобия определяется соотношением

(5.20)

где p_i(a) =p(X= ζ₁).

В этом случае функция правдоподобия L есть не что иное, как вероятность совместного появления значений x₁, x₂, ..., х_п при данном значении а.

Сущность метода максимального правдоподобия состоит в том, что в качестве оценки неизвестного параметра а выбирается такое значение, которое максимизирует функцию правдоподобия. Это значение является функцией x₁, x₂, ..., х_п и называется оценкой наибольшего правдоподобия.

Отсюда, согласно известным правилам дифференциального исчисления, для нахождения оценки наибольшего правдоподобия необходимо решить уравнение

(5.21)

и отобрать то решение а = а(х₁, х₂,…, х_п), которое обращает L в максимум.

Обычно в целях упрощения функцию правдоподобия заменяют ее логарифмом и рассматривают уравнение

(5.22)

При двух неизвестных параметрах a₁ и а₂ их оценки определяются по двум совместно решаемым уравнениям:

(5.23)

При т параметрах a_j (j = 1, 2, ..., т) их оценки получают из решений системы т уравнений

(5.24)

Иногда на практике не удается получить решение в аналитическом виде и тогда для нахождения максимума функции правдоподобия прибегают к численным расчетам.

5.3.2. Оценка параметров нормального закона распределения

Пусть имеем выборку x₁, x₂, …, х_п значений ряда X, подчиняющегося нормальному закону распределения, т. е.

(5.25)

Функция правдоподобия L (x₁, х₂, …, х_п; , D_x), равная вероятности получить значения выборки x₁, x₂, …, х_п при данных значениях и D_x в п испытаниях, согласно формуле (5.20), будет равна произведению вероятностей отдельных х_i (i=1, 2, ..., п), т. е.