1.2. Операции над множествами

Рассмотрим основные операции над множествами.

Объединением множеств А и В называется множество АВ, все элементы которого являются элементами хотя бы одного из множеств А или В:

АВ = {x  x А или xВ}.

Аналогично определяется объединение нескольких множеств А_i, где индексы i пробегают множество I: ={x  iI: x А_i}.

Пример 1.11. Пусть А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}. Тогда АВ = {2, 4, 5, 6}.

Пересечением множеств А и В называется множество АВ, все элементы которого являются элементами обоих множеств А и В: АВ = {x x А и xВ}.

Аналогично определяется пересечение нескольких множеств.

Пример 1.12. Пусть А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}. Тогда АВ = {4, 6}.

Если множества не имеют ни одного общего элемента, то говорят, что множества не пересекаются или что их пересечение – пустое множество.

Пример 1.13. Пусть А = {1, 2}, В = {2, 3}, C = {3, 4}. Тогда АВC =.

Разностью множеств В и А (относительным дополнением множества В до множества А) называется множество А \ В, все элементы которого являются элементами множества А, но не являются элементами множества В:

А \ В = {x  x А и xВ}.

Пример 1.14. А = {4, 5, 6}, В = {2, 4, 6}. А \ В = {4, 5}, В \ А= {2}.

Симметрической разностью множеств А и В называется множество А  В=А  В=: (А \ В)  (В \ А).

Пример 1.15. А={3,4, 5, 6}, В ={2, 4, 6}. А \ В = {3, 5}, В \ А= {2}, АВ = {2, 3, 5}.

Универсальным множеством называется такое множество U, что все рассматриваемые в данной задаче множества являются его подмножествами.

Дополнением множества А называется множество всех таких элементов x  U, которые не принадлежат множеству А: = U \ A.

Пример 1.16. Пусть U – множество всех натуральных чисел, а А – множество положительных четных чисел, тогда – множество положительных нечетных чисел.

Для наглядного представления множеств и отношений между ними используется диаграммы Венна (иногда их называют кругами Эйлера или диаграммами Эйлера – Венна).

Универсальное множество U изображают в виде прямоугольника, а множества, входящие в универсальное множество, – в виде кругов внутри прямоугольника; элементу множества соответствует точка внутри круга (рис 1.1 а).

С помощью диаграмм Венна удобно иллюстрировать операции над множествами: объединения (рис 1.1 б), пересечения (рис 1.1 в), разности (рис 1.1 г), симметричной разности (рис 1.1 д), дополнения (рис 1.1 е).

АВ

Рис.1.1

1.3. Декартово произведение множеств

Конечная последовательность, допускающая повторения элементов данного множества (или данных множеств), называется кортежем (n-кой, вектором, набором, упорядоченным множеством). Условно кортеж записывают в угловых скобках ‹a,b,c›.

Пример 1.17. Слово в алфавите A есть кортеж. Команда в программе для ЭВМ есть последовательность символов из алфавита языка программирования. Координаты точки в n-мерном пространстве образуют кортеж.

В условной записи кортежа элементы, его образующие, называются компонентами (координатами).

Число компонент кортежа называется его длиной. Так принято кортеж длиной два ‹a₁,a₂› называть парой (или упорядоченной парой), кортеж длины три ‹x₁,x₂,x₃› - тройкой.

Кортеж длины n можно интерпретировать как n-мерный вектор, или как точку в n-мерном пространстве, а каждую компоненту кортежа можно рассматривать в этом случае как проекцию вектора на соответствующую ось.

Два кортежа равны межу собой тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую длину и их элементы с одинаковыми номерами совпадают.

Прямым (декартовым) произведением множеств А и В называется множество М= А  В всех упорядоченных пар ‹a,b›, таких, что aA, bB.

Иллюстрацией декартова произведения множеств A={a₁,a₂} и B={b₁,b₂,b₃} является рис. 1.2.

Рис. 1.2.

В общем случае декартовым произведением множеств А₁, А₂, ... А_n называется множество А₁×А₂× ... ×А_n, состоящее из всех кортежей ‹ a₁, a₂,…, a_n›, длины n, в которых a_i А_i , i=1,2,…n.

Если в частности одинаковы то получаем

Пример 1.18. Плоскость является декартовым произведением двух прямых и обозначается R². В физике пространственно-временной континуум есть декартово произведение R³T, где R³ - трехмерное пространство, а Т – числовая ось времени.

Пример 1.19. Пусть А = {1, 2, 3}, В = {2, 3}. Тогда A  B = {1, 2, 1, 3,2, 2, 2, 3,3, 2,3, 3}. При этом 2, 33, 2.

Пример 1.20. Пусть А = {x 0  x  1} и B = {y 2  y  3}.

Тогда A  B = { x, y , 0  x  1 и 2  y  3}. Таким образом, множество A  B состоит из точек, лежащих внутри и на границе прямоугольника, образованного прямыми x = 0 (ось ординат), x = 1, y = 2 и y = 3.