2. Моделирование потребления

• условиях рыночной системы управления производственной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе начальным пунктом всего цикла предпринимательской деятельности становится изучение потребительского спроса. Рассмотрим некоторые вопросы моделирования спроса и потребления.

Рассмотрим потребителя, который в результате своего существования потребляет некоторые блага. Уровень удовлетворения потребностей потребителя обозначим через U. Предположим, что имеется n видов благ Б₁, Б₂,…, Б_n. В качестве благ могут выступать:

• продовольственные товары;

• товары первой необходимости;

• товары второй необходимости;

• предметы роскоши;

• платные услуги и т. д.

Пусть количество потребления каждого блага равно х₁, х₂,…, х_n. Целевой

функцией потребления называется зависимость

между степенью (уровнем)

удовлетворения

потребностей

U

и

х2

количеством

потребляемых

благ:

С1

х1, х2, …, хn.

Эта

функция

имеет

вид

U  U (x1 , x2 ,..., xn ) .

С1> С2 > С3

С2

В пространстве потребительских благ

каждому

уравнению

С3

U  U (x1 , x2 ,..., xn )

соответствует

или безразличных, наборов благ, которая называется поверхностью безразличия. Гиперповерхность такой кривой, называемой многомерной поверхностью

безразличия, можно представить в виде U (x₁ , x₂ ,..., x_n )  C , где С — константа.

Для наглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двух агрегированных групп товаров: продукты питания Б₁ и непродовольственные товары, включая платные услуги Б₂. Тогда уровни целевой функции потребления

U (x₁ , x₂ ) можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия, соответствующих различным значениям константы С. Для этого выражают

количество потребления одного блага х₁ через другое х₂. Рассмотрим пример.

П р и м е р 1 . Целевая функция потребления имеет вид

25.  f (x₁ , x₂ )  ³ x₁ (x₂  5) . Найти кривые безразличия.

Решение. Кривые

безразличия

имеют видy  3

x (x

2

1)

 C или

1

x (x

1)  C 3 , или

x



C 3

1

(при этом следует отметить, что должно

2

2

1

x1

выполняться x1  0; x2

 0 ).

Каждый потребитель стремится максимизировать уровень удовлетворения потребностей, то есть U  max . Однако максимизации степени удовлетворения потребностей будут мешать возможности потребителя. Обозначим цену на единицу каждого блага через р₁, р ₂,…, р_n, а доход потребителя через D. Тогда должно выполняться бюджетное ограничение, имеющее смысл закона, согласно которому затраты потребителя не должны превышать сумму дохода:

p₁ x₁  p₂ x₂  ...  p_n x_n  D .

• результате для нахождения оптимального набора благ необходимо решать задачу оптимального программирования:

U (x₁ , x₂ ,..., x_n )  max;

 p₁ x₁  p₂ x₂  ...  p_n x_n  D; (2.1)

^_x_i  0, (i  1, 2,..., n).

Рассмотрим двухфакторную функцию потребления U (x₁ , x₂ ) , где х₁ — объем

потребления продуктов питания и х₂ — потребление непродовольственных товаров и платных услуг. Кроме того, предположим, что весь доход потребитель направляет на удовлетворение своих потребностей. В этом случае бюджетное ограничение будет содержать только два слагаемых, и неравенство превратится в равенство. Задача оптимального программирования при этом примет вид:

х₁ определенная поверхность равноценных,

U (x1 , x2 )  max;
 p x  p					x				 D;	(2.2)
 1	1			2				2
x1	 0,	x2						 0.

Геометрически оптимальное решение имеет смысл точки касания кривой безразличия линии, соответствующей бюджетному ограничению.

Из бюджетного ограничения системы (6.4) можно выразить переменную

Для ее решения выражаем из бюджетного ограничения 20x₁  50x₂  1800

одну переменную через другую: x2  ^{1800  20x1}  36  0,4x1 . Подставляем в 50

целевую функцию

U 	(x	 4)(36  0,4x )		36x	144  0,4x 2	1,6x 
1		1		1	1	1

x2 	D  p1 x1		. Подставив	этох2
	p2
выражение в целевую функцию,
получаем		функцию		одной
переменной

		D  p x		
U (x )  U 		1 1	, x		,
1		p2	1	
				

максимум которой можно найти из уравнения, приравняв производную

нулю: U (x₁ )  0 .

Оптимальное

решение

х1

к

 34,4x	144  0,4x 2 .
1	1

Находим производную и приравниваем ее к нулю

U  



34,4x1 144  0,4x12 

34,4x1 144  0,4x12



2  34,4x

144  0,4x

2

1

1



34,4  0,8x1

 0

или 34,4

 0,8x1  0.

2 

34,4x 144  0,4x 2

1

1

Получаем x1  30,5,

x2  (1800  20 30,5) / 50  23,8 .

П р и м е р 2 . Целевая функция потребления имеет вид U (x₁ , x₂ )  (x₁  4)x₂ . Цена на благо Б₁ равна 20, цена на благо Б₂ равна 50.

Доход потребителя составляет 1800 единиц. Найти кривые безразличия, оптимальный набор благ потребителя, функцию спроса на первое благо по цене, функцию спроса на первое благо по доходу.

Решение. Кривые безразличия имеют вид:

		)  C;			 C;				C 2
U (x , x			(x  4) x	2		x	2				.
1	2		1						x1	 4

Получаем множество гипербол, расположенных в первой координатной четверти на разном расстоянии от начала координат в зависимости от значения константы С.

Находим оптимальный набор благ. Задача оптимального программирования имеет вид:

U (x₁ , x₂ )  (x₁  4)x₂  max;

20x₁  50x₂  1800;

^_x₁  0; x₂  0.

Таким образом, оптимальный набор благ составляют 30,5 и 23,8 единиц.

Находим теперь функцию спроса на первое благо по цене на него. Для этого в

бюджетном ограничении

вместо фиксированного значения вводим цену первого

блага

p1 ,

получая

уравнение:

p1 x1  50x2  1800 .

Выражаем

x



1800  p1 x1

 36 

p1 x1

. Подставляем в целевую функцию:

2

50

50

U 

(x1



p x



 p

 2



2 p



 4)36 

1 1

 36x1

144  1

x1



1

x1 .



50



50



25

Находим производную и приравниваем ее к нулю:





1

 144 

 p

 2



2 p







1



1



1

1



U 

36x



50



x



25



x







36 

2 p

 p



1

25



1

25

x1







 0,

 p

 2



2 p



2

144 

1

50

x1

36 

1

25

x1









или 36 	2 p		 p						 0 , откуда находим функцию спроса на первое
	1	25	 1			25	x1
							
благо по цене: x				900	 2 .
		1		p1

Находим теперь функцию спроса на первое благо по доходу. Для этого выражаем из бюджетного ограничения 20x₁  50x₂  D одну переменную через

другую: x2  ^{D  20x1}  ^D  0,4x1 . Подставляем в целевую функцию:

50 50

21.  (x₁  4)(D / 50  0,4x₁ )  x₁ D / 50  2D / 25  0,4x₁² 1,6x₁   (D / 50 1,6)x₁  2D / 25  0,4x₁² .

Находим производную и приравниваем ее к нулю:

U  



(D / 50 1,6)x1

 2D / 25  0,4x12



(D

/ 50 1,6)x1  2D / 25  0,4x12 



2 

(D / 50 1,6)x  2D / 25  0,4x

2

1

1



D / 50 1,6  0,8x1

 0 или D / 50 1,6  0,8x1  0.

2  (D / 50 1,6)x  2D / 25  0,4x 2

1

1

Отсюда находим функцию спроса на первое благо по доходу

^x1 ^₄₀^D^²^.