3.3. Математическое обеспечение сапр

В состав математического обеспечения входят математические модели проектируемых объектов, численные методы решения математических задач, алгоритмы выполнения проектных процедур.

3.3.1. Математические модели объектов, систем, процессов

Определение 3.1. Математическая модель проектиру­е­мого об­ъек­та - это математическое описание, отражающее с требуе­мой точ­ностью структуру, состав или поведение этого объекта.

Замечание 3.1. Математическая модель объекта концентрирует записанную на языке математических отношений совокупность на­ших знаний, представлений и гипотез о проектируемой машине, сис­теме, конструкции, сооружении, аппарате.

Поскольку эти знания никогда не бывают абсолютными, то мо­дель лишь приближенно описывает поведение проектируемого об­ъекта.

Замечание 3.2. Выполнение проектных процедур и операций ос­новано на работе с математическими моделями проектируемых об­ъ­ектов.

Замечание 3.3. С помощью математических моделей прог­но­зи­ру­ются характеристики, оцениваются свойства вариантов схем, струк­тур и конструкций; проверяется соответствие анализируемых вариантов предъявленным требованиям; находятся и выбираются оптимальные решения; разрабатывается техническая документация.

Замечание 3.4. Математическая модель объекта - это сово­куп­ность соотношений (формул, неравенств, уравнений, логических со­от­­ношений, ограничений), определяющих структуру, состав или по­ве­дение объекта в зависимости от его параметров, случайных факторов, а в ряде случаев - и времени.

3.3.2. Требования к математическим моделям сапр

Основными требованиями к математическим моделям САПР являются требования адек­­ватности, точности, экономичности.

Адекватность имеет место, если модель отражает заданные свой­ства объекта с приемлемой точностью.

Под точностью понимают степень соответствия оценок одно­имен­ных свойств объекта и модели.

Экономичность определяется затратами вычислительных ресур­сов, требуемых для реализации модели.

3.3.3. Разработка математических моделей

На рис.3.1 указаны основные этапы построения математической модели.

1 этап. Изучение работы аналогов. Содержательное описание процессов. Эти описания представляют собой вер­бальную модель объекта. Описательные или вер­баль­ные модели разрабатываются на основе естествен­ных языковых средств. Они состоят из текстов, сопро­вождаемых блок-схемами, таблицами, графиками и про­чим иллюстративным материалом. Назначение вер­бальной модели - служить обобщенным выражением зна­ний спе-

­ циалистов об объекте, который будет проектиро­вать САПР.

Рис.3.1. Этапы построения математической модели

2 - ой этап. Выбор вида математической модели. Выбор фунда­ментальных законов физики и других дисциплин. Постановка задачи.

3 - й этап. Построение модели, т.е. выражение наших знаний об объекте, который будет проектиро­вать САПР, в виде математических соотношений (формул, урав­не­ний, неравенств, логических соот­ношений, ограничений и т.д.).

4 - й этап. Проверка адекватности модели. Проверка размер­ности всех членов уравнений.

5 - й этап. Решение тестовых задач.

6 - й этап. Проверка корректности постановки задачи.

Математическая модель может быть представлена в виде чёрно­го ящика. В представлении математической модели в виде черного ящи­­ка задаются связи модели с внешней средой в виде входных воз­действий и сигналов на выходе модели. Такое представление модели бывает полезным для решения определенного круга задач.

Представление модели в виде черного ящика может быть показано следующим рисунком (рис.3.2):

Рис.3.2. Представление математической мо­-

де­ли в виде чёрного ящика

Элементами входа и выхода мате­матической модели объекта являются:

- множество входных сигналов; - это векторы, т.е. и ;

- множество выходных сигналов,

где - совокупность варьируемых параметров; это параметры, значения которых в процессе проектирования могут быть изменены;

- совокупность параметров, которые не могут быть изменены при проектировании объекта;

- характеристики объекта, получаемые в результате автоматизированного проектирования (значения различных величин).

В тех случаях, когда при проектировании объекта решаются и оптимизационные задачи, получаем следующий рисунок (рис.3.3).

Рис.3.3. Решение оптимизационной

зада­чи по математической модели объекта

На рис.3.3 W - полученное значе­ние критерия оптимальности.

В общем виде математическая модель проектируемого объекта может быть выражена зависимостью

, (3.1)

где - множество параметров, получаемых в резуль­тате автоматизированного проектирования;

- множество варьируемых параметров;

— множество параметров, которые не могут быть изменены.

При решении в процессе проектировании оптимизационных за­дач математическая модель проектируемого объекта это

= ,

и . (3.2)

В (3.1) и (3.2) L - математическая модель проектируемого объекта.

Определение 3.2. Математическая модель проектируемого объекта - это некоторый оператор L, ставящий в соответствие при по­­­­мо­­щи системы математических соотношений множеству входных переменных и совокупность параметров и характеристик про­ектируемого объекта и .

Замечание 3.5. Математическая модель является матема­тическим аналогом проектируемого объекта.

Заключение

Изложенный материал демонстрирует, что САПР есть неразрыв­ное единство трёх взаимосвязанных компонентов: технического, прог­раммного и математического обеспечений, обеспечивающих её функционирование. Технические средства решают задачи ввода-вы­во­­да исходной информации и результатов решения, выполнения всех проектных процедур, взаимодействия между человеком и вычисли­тель­ной техникой в интерактивном режиме с применением локаль­ной, корпоративной или мировой сети связи в процессе проектирова­ния. Программное (общепрограммное, системное, прикладное) обес­печение реа­­лизует необходимый порядок выполнения операций авто­ма­­тизированного проектирования, выполняемых аппаратными сред­ствами. Выполнение проектных процедур и операций ос­новано на работе математического обеспечения, включающего в себя матема­ти­ческие модели проектируемых объектов, численные методы реше­ния математических задач, алгоритмы выполнения про­цедур. Основными требованиями к математическим моделям в САПР явля­ют­ся требования адек­­ватности, точности, экономичности, обеспечи­вающими возможность реализации и оптимизационных задач.

Вопросы для самопроверки

1. Какие задачи должны решать технические средства САПР?

2. Что представляет собой структура технического обеспечения САПР?

3. Каков состав устройств АРМ проектировщика?

4. Какие вычислительные сети используются в САПР?

5. Что такое программное обеспечение САПР?

6. Дайте определение понятию «Математическая модель проектируемого объекта».

7. Какие требования предъявляются к математическим моделям проектируемых объектов?

8. Перечислите основные этапы разработки математической модели объекта, который будет проектироваться с помощью САПР.

9. Как можно представить математическую модель проектируемого объекта в виде чёрного ящика?

Лекция 4. Классификация математических моделей

План лекции

Будут рассмотрены следующие вопросы:

- классификация математических моделей;

- математический аппарат в моделях разных иерархических уровней;

- способы получения математических моделей в САПР;

- формы представления математических моделей и требования к ним;

- классификация математических моделей по отображаемым свойствам.

Литература: Л.1, Л.2, Л.3, Л.4.