З а д а н и е 3.2. Вычисление корней алгебраических и трансцендентных уравнений методом Ньютона (касательных)

- Отделить корни заданного уравнения, пользуясь графическим методом.

- По методу Ньютона вычислить один корень заданного уравнения с точностью 10^-3 с помощью «ручной» расчетной таблицы и калькулятора.

- Вычислить один корень с помощью программы для компьютера с точностью 10^-5.

-Сравнить результаты.

Варианты данных приведены в таблице 5 на странице 26.

Пример. Уточнить корень уравнения на отрезке [1,3;1,5] методом касательных с точностью до 1^. .

Решение: Итерационная формула в нашем примере имеет вид

,

т.к . производная .

Для определения точки найдем знаки и на концах отрезка [1,3;1,5]:

(1, 3) = 0, 515501 - 0, 262363 = 0, 253137>0,

(1, 5) = 0, 14112 - 0,405465 = - 0, 26435<0,

(1, 3) = -2,062 + 0,591716 = -1, 4703<0,

(1, 5) = -0, 56448 + 0, 4444 = - 0, 12<0.

Таким образом, .

Вычислим несколько членов итерационной последовательности «ручным» способом:

Сделаем проверку точности достижения корня:

, значит

- требуемая точность не достигнута.

Снова проверка:

- требуемая точность достигнута.

Корень уравнения х₁= 1, 399429 .

Пример. Алгоритм решения уравнения методом Ньютона показан на рис. 5

Вычислить корень уравнения y=x-10sin(x) методом секущих с использованием программы SciLab;

Листинг программы – метод Ньютона (касательных)

function [y]=Fx(x) y=x-10.0*sin(x); endfunction function [y]=dFx(x) y=1-10.0*cos(x); endfunction disp('----'); x=8.25; e=1E-5; n=0; while abs(Fx(x))>e,

xn_1=x; x=x-Fx(x)/dFx(x); n=n+1; end x Dx=x-xn_1 Fx_x=Fx(x) n ОТВЕТЫ. x = 8.4232041; x = - 0,0004831; F(x) = 0,0000010; n = 3 число итераций.

Раздел 4. Системы линейных алгебраических уравнений (слау)

Множество прикладных и чисто математических задач приводят к необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений (С.Л.А.У). Без преувеличения можно утверждать, что это одна из важнейших задач вычислительной математики.

Значимость задачи породила целый ряд методов ее решения. Среди этих методов есть универсальные и специализированные (т.е. применимые лишь к системам, имеющим некоторые специальные свойства). Методы отличаются друг от друга эффективностью, требованиями к объемам машинной памяти (при реализации на ЭВМ), закономерностями накопления ошибок в ходе расчетов. Не существует одного метода, который можно было бы во всех случаях предпочесть всем остальным, и поэтому знакомство с некоторыми методами является обязательным для квалифицированного вычислителя.

Итак, перед нами система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

Запись ее в такой форме достаточно громоздка. Будем использовать матричную форму записи, совершенно равносильную (2.7): AХ=B,

где

Методы решения С.Л.А.У. можно разделить на два класса: точные и итерационные.

К точным методам относятся:

1. метод определителей (метод Крамера), хорошо известный из курса линейной алгебры;

2. матричное решение: X=A^-1В (если известна обратная матрица);

3. различные варианты метода исключения неизвестных (метод Гаусса).

Чаще всего такие методы реализуются на ЭВМ, и в процессе вычислений ошибки определения и погрешности арифметических действий неизбежно. В силу этого название «точный» не соответствует действительности.

К итерационным методам относятся приближённые методы решения С.Л.А.У., основанные на применении принципа сжимающих отображений (метод Зейделя, метод простой итерации).

Метод Гаусса решения систем уравнений

Под названием «метод Гаусса» фигурирует группа методов, объединенных идеей последовательного исключения неизвестных. Наиболее популярным является метод, основанный на так называемой схеме единственного деления; этот метод имеет также и ряд модификаций.

Сам по себе метод Гаусса относится к точным методам. Это означает, что если точно выполнять все требуемые действия, получено точное решение, поскольку погрешность метода в данном случае равна нулю.

Будем считать матрицу системы (2.7) невырожденной, т.е. ее определитель не равен нулю.

Рассмотрим алгоритм, который получил название схемы единственного деления.

Подвергнем систему (3.1) следующим преобразованиям.

Считая, что (ведущий элемент), разделим на коэффициенты первого уравнения:

Используя это уравнение, легко исключить неизвестное x из остальных уравнений системы (достаточно из каждого уравнения вычесть уравнение (1), умноженное на соответствующий коэффициент при x ).

Над остальными уравнениями системы совершим аналогичное преобразование: выберем из их числа уравнение с ведущим элементом и исключим с его помощью из остальных уравнений неизвестное .

Повторяя этот процесс, получим систему с треугольной матрицей:

Из системы последовательно находим значения неизвестных

Отметим, что последовательное исключение неизвестных называется прямым ходом метода Гаусса. Нахождение значений неизвестных – обратным ходом.

Пример: Решить систему линейных уравнений:

Решение: Запишем расширенную матрицу системы:

Так как, , разделим элементы первой строки на 2,34. Затем из элементов второй строки вычтем элементы первой, умноженные на 8,04, а из элементов третьей - вычтем элементы первой, умноженные на 3,92.

.

Теперь элементы второй строки разделим на 19,685. И умножая их на (-0,938), вычтем из элементов третьей строки.

.

Элементы третьей строки, разделим на 29,732.

.

Получаем треугольную матрицу. Решая ее, начиная с последней строки, найдем значения неизвестных:

,

Так как в процессе решения выполнялись округления, то решение содержит вычислительную ошибку.

Определение: Значение разностей между свободных элементов исходной системы и результатами подстановки в уравнения системы найденных значений неизвестных называется невязками.

В рассмотренном примере невязки имеют следующие значения:

Следует заметить, что по величине невязок нельзя судить о погрешностях результатов, но можно уточнить решение системы, вычислив поправки для найденных значений неизвестных.