2. Задание
1. Построить гистограмму и полигон частот для статистических данных с разбиением на интервалы равной длины ( S=5,10 ).
2. Построить гистограмму и полигон частот для статистических данных на равнонаполненные интервалы (10%, 20% выборочных значений).
3. Построить непараметрическую оценку функции плотности распределения вероятности (ф.п.р.в.) для статистических данных методом прямоугольных вкладов (формулы 3-7).
4. Сделать выводы результатов разведочного анализа данных
3. Контрольные вопросы
Определение ф.п.р.в. Геометрическая интерпретация и свойства.
Возможные подходы к оцениванию ф.п.р.в.
Определение гистограммы и полигона частот.
Метод прямоугольных вкладов. Пояснить смысл компонент в формуле (3).
4. Рекомендации по выполнению работы в среде пакета Excel
Примерная последовательность действий при выполнении задания 1 приведена ниже.
1.Занести в столбец исходную выборку (занести исходные данные в первый столбец листа).
2.Построить вариационный ряд (отсортировать выборку по возрастанию).
3. Найти минимальное и максимальное число из выборки (использовать функцию «МИН» и «МАКС» для нахождения максимального и минимального значения и занести их в столбец C).
4. Построить выборочную функцию плотности распределения и по ней равноинтервальную гистограмму.
5. Найти S интервалов равной длины d=(b-a)/S (в Excel должна быть введена формула «=(С2-С1)/B1» в ячейке D1, а в ячейке E1 «=C1+D1» и далее в E2 «=E1+D1»,потом в E3 «=E2+D1» и т.д. S раз).
6. Подсчитать число наблюдений , , попавших в интервал (использовать функцию «Частота», введя в нее два массива: наблюдений и интервалов «=ЧАСТОТА(A1:A20;E1:E5)», где A1:A20 – выборка, E1:E5 –концы интервалов ).
Замечание: для того, чтобы задать частоту, как массив, необходимо нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER, перед этим выделив необходимое количество ячеек.
7. По формуле (1) найти (в Excel получится следующее « G1/(X*$D$1)» для H1 и т.д., где X - кол-во значений в выборке).
8. По формуле (2) найти полигон частот (выбрать в меню Вставка-Диаграмма для нужного столбца).
Замечание: график полигона частот должен начинаться и заканчиваться значениями «0» по оси ординат. Для этого добавить в начало и в конец рядов с концами интервалов (столбцы G и H) по одной точке, отступив от них на длину, равную d; а значения по оси ординат назначить «0».
На Рисунке 1 показан фрагмент построения гистограммы и полигона частот для задания 1.
Рисунок 1 – Пример построения гистограммы и полигона частот для статистических данных с разбиением на интервалы равной длины. Замечание: график полигона построен на рисунке не до конца (см. п.8)
9. Подписать графики гистограммы и полигона частот и разметить ось абсцисс.
10. Сделать выводы результатов разведочного анализа данных. Таким образом, можно сделать вывод о том, если полигон имеет одну моду, то мы можем пользоваться всей выборкой для расчета статистик, если имеет больше одной моды, например, 2 моды, то выборка не однородна и использовать её всю для расчета статистических характеристик нельзя: необходимо разбить на 2 группы и только затем рассчитывать статистические характеристики. После разбиения всей выборки на однородные группы сделать выводы о необходимости преобразования к симметричному виду: на основании симметричности построенного графика. Например, если получатся несимметричные графики оценки функции плотности, значит нужно преобразование к симметричному виду.
Для выполнения 2-го задания работы построить точечный график гистограммы и полигона частот,
Примерная последовательность действий при выполнении задания 2 приведена ниже.
1. Занести в столбец исходную выборку (занести исходные данные в первый столбец листа).
2. Построить вариационный ряд.
3. Построить выборочную функцию плотности распределения и по ней равнонаполненную гистограмму.
4. Разбить выборку на k равных частей (в случае 20% k=5). Замечание: если в конце одной части и в начале второй стоят одинаковые выборочные значения, то такие части объединяются в одну, т.е., к 20% прибавляется 20%.
5. Найти длины интервалов .
6.
Найти высоту по формуле
.
7.
Площадь каждой части равна
(если берем 40%, то 2/k).
8. Используя длины и высоты каждого прямоугольника гистограммы, получаем оценку (в Excel получится следующее « F2:F4/(X*E2:E4)», где X - кол-во значений в выборке).
9. Изобразить равнонаполненную гистограмму (воспользоваться стандартными средствами Excel с целью построения точечной диаграммы по точкам – координатам всех прямоугольников - элементарных звеньев гистограммы (координаты для первого прямоугольника: левого нижнего угла, левого верхнего угла, правого верхнего угла и т.д.).
На Рисунке 2 показан фрагмент построения гистограммы и полигона частот для задания 2.
Рисунок 2 - Фрагмент построения гистограммы и полигона частот для статистических данных
с разбиением на равнонаполненные интервалы.
10. Сделать выводы результатов разведочного анализа данных.
Для выполнения 3-го задания работы необходимо график построить по 10 точкам (x,f(x)), где в качестве x взять точки вариационного ряда исходной выборки с равным шагом, а f(x) - определить по формуле (7).
При выполнении задания 3 для исходных данных в соответствии с вариантом построить непараметрическую оценку функции плотности распределения вероятности методом прямоугольных вкладов в виде полигона частот. Для построения непараметрической оценки функции плотности распределения вероятности методом прямоугольных вкладов в виде полигона частот необходимо воспользоваться формулами (3–7), определить для графика 10 координат (x,f(x)), где в качестве x взять точки вариационного ряда исходной выборки с равным шагом, а f(x) - определить по формуле (7). Сделать выводы результатов разведочного анализа данных.
На Рисунке 3 показан фрагмент построения гистограммы и полигона частот для задания 3.
Рисунок 3 - Пример построения полигона частот для статистических данных
с разбиением на равнонаполненные интервалы