Движения евклидова пространства. Основные понятия.

Геометрическое преобразование – функция, определяемая на множестве точек пространства, значения которой являются точками этого пространства, хотя могут рассматриваться и отображения множеств других геометрических фигур, которые также относят к преобразованиям геометрическим. Например, так называемая корреляция, при которой точечное множество отображается на множество прямых. В школьном курсе геометрии рассматриваются именно точечные преобразования пространств, которые и называют преобразованиями геометрическими. Основное их свойство - взаимная однозначность отображения множества всех точек пространства на себя.

Первый вид преобразований евклидова пространства – это отображение пространства (как точечного множества) на себя, при котором произвольно взятой паре точек (А, В),соответствует такая пара точек (А, В) что отрезок АВ оказывается конгруэнтным отрезку АВ. Приведенное определение может несущественно трансформироваться в зависимости от выбора основных, неопределяемых понятий. Так, например, при условии, что основным понятием является «расстояние» (см., Геометрия 6-8, авторы А.Н.Колмогоров, А.Ф.Семенович, Р.С.Черкасов), условие конгруэнтности отрезок АВ и АВ заменяется условием равенства расстояний АВ и АВ. Мы в дальнейшем используем выше приведенный вариант определения, полагая при этом, что отношение «конгруэнтность» раскрывается в соответствующей системе аксиом (см. Д.Гильберт, Основания геометрии).

Взаимная однозначность определенного выше отображения пространства доказывается, что и позволяет заключить, что такое отображение есть геометрическое преобразование. Именно его называют «движением пространства». Использовались и другие термины для названия такого преобразования, например, «перемещение» (Геометрия 6-8, под ред. А.Н.Колмогорова), «конгруэнтное преобразование», «изометрия». Будем использовать установившееся в настоящее время название – движение, хотя это и можно подвергнуть критике, если учитывать повседневный или физический смысл этого понятия.

Рассмотрим некоторые основные свойства движений геометрического пространства, обозначая точку, соответствующую данной, той же буквой, но со штрихом.

Свойство 1: Если точка В лежит между точками А и С, то ей соответствующая точка В лежит между точками А и С, соответствующими точкам А и С.

Из условия следует, что АС  АВ + ВС и АС  АС, АВ  АВ,

ВС  ВС.

Отсюда: АС  АВ + ВС , а значит В лежит между А и С.

Свойство 2. Если В не лежит между А и С, то и В не лежит между А и С.

Если допустить противное, т.е В лежит между А и С, то

АС  АВ + ВС. В силу конгруэнтностей АС  АС, АВ  АВ и

ВС  ВС получаем АС  АВ + ВС. Отсюда В лежит между А и С. Следовательно, допущение неверно.

Следствиями доказанных выше свойств будут свойства, касающиеся преобразования основных геометрических фигур: прямой и плоскости, луча, полуплоскости, полупространства, отрезка.

Следствие 1. Образом прямой а при движении является прямая, которую

обозначаем а.

Возьмем на а две различные точки А и В. Пусть их образы – точки А и В.

В силу взаимной однозначности движения и различия точек А и В, А и В – различные точки. Они определяют единственную прямую, которую обозначим а.

Пусть М принадлежит прямой а, тогда либо М лежит между А и В (обозначим это в виде записи , либо М не лежит между А и В. В этом случае либо , либо . В силу свойства 1 для М будем иметь: либо , либо , либо . Что означает принадлежность М прямой а. Итак, образ всякой точки М прямой а , есть точка прямой а.

Точно также мы докажем, что всякая точка N прямой а есть образ точки N прямой а.

Именно в этом смысле мы и можем сказать, что движение отображает прямую а на прямую а.

Следствие 2. Образом плоскости  при движении пространства является плоскость, которую будем обозначать через .

Доказательство проводится аналогично предыдущему:

1. А, В и С – три различные точки плоскости  , не принадлежащие одной прямой, А,В и С их образы. В этом случае эти точки не принадлежат одной прямой.

2.  - плоскость, определяемая точками А,В и С.

3. М – произвольная точка плоскости  и М - ее образ.

а) М лежит на одной из прямых АВ, АС или ВС. Тогда М - точка одной из прямых АВ, АС или ВС, а значит точка плоскости .

в) М не лежит ни на одной из прямых АВ, АС, ВС (рис.1).

Рис.1

Через М в  проводим прямую m, пересекающую АВ в точке N. Тогда m пересекает одну из прямых ВС или АС (аксиома Паша). Пусть для определенности – ВС в точке Р.

Образы точек N и Р принадлежат соответственно АВ и ВС. Значит, прямая NР, проходящая через М, принадлежит плоскости . А поэтому точка М принадлежит .

Итак, образ всякой точки М плоскости  принадлежит плоскости .

Пусть теперь М - произвольная точка плоскости , отличная от А, В и С. Имеем две возможности:

а) М - точка одной из прямых АВ, АС или ВС. В этом случае ее прообраз точка М есть точка одной из прямых АВ,АС,ВС, а значит точка плоскости .

в) М отлична от точек А,В и С. Проводим через М прямую m(рис.2). пересекающую две стороны треугольника АВС, например, АВ в точке N и ВС в точке Р. Прообразы точек N и Р, точки N и Р есть точки сторон АВ и ВС треугольника АВС. Прямая NР есть прообраз прямой m и проходит через М прообраз точки М. Но NР принадлежит плоскости , а потому и точка М принадлежит .

Рис.2

Вывод: Образ всякой точки М плоскости  есть точка М плоскости  и

обратно прообраз всякой точки М плоскости  есть точка М

плоскости .

Именно это и означает, что плоскость  есть образ плоскости .

Аналогично можно доказать:

Следствие 3: Образом луча при движении пространства является луч.

Следствие 4: Образом полуплоскости при движении пространства является полуплоскость

.

Следствие 5: Образом полупространства при движении является

полупространство.

Предлагаем читателю провести эти доказательства в качестве упражнения.

Если отрезок трактуется как часть прямой, а не пара точек (как у Д.Гильберта), то нужно доказать и то, что образом отрезка при движении пространства является отрезок. Доказательство аналогично предыдущим и опирается на свойства 1 и 2.

Отметим еще без доказательства и свойства связанные с преобразованием медиатрисы отрезка и окружности.

Следствие 6: Если m – медиатрисса отрезка АВ, то m′ медиатрисса отрезка А′В′.

Следствие 7: Образом окружности (О, R) является окружность (О′, R).

Следствие 6 позволяет сделать заключение и о сохранении отношения ортогональности прямых, по крайней мере, для пересекающихся прямых: если а и b - пересекающиеся взаимно перпендикулярные прямые, то и их образы

а′ и b′ - взаимно пересекающиеся перпендикулярные прямые.

Следствие 7 дает возможность указать способ построения образа любой точки, по крайней мере, для случая движения в плоскости ( в двумерном пространстве) при условии, когда известны три пары соответствующих друг другу точек (А,А′), (В,В′) и (С,С′), у которых А, В и С – точки не принадлежащие одной прямой. Покажем, как это делается.

Итак, А → А′, В → В′ и С → С′ , причем А,В и С – три различные точки, не принадлежащие одной прямой. Пусть М - произвольная точка плоскости АВС.

Строим окружности (А′, АМ) и (В′, ВМ) (рис. 3).

Рис.3

Так как окружности (А, АМ) и (В, ВМ) по условию имеют общую точку, то и

(А′, АМ) и (В′, ВМ) имеют общую точку. Она единственна, если М принадлежит прямой АВ и таких точек две, если М не принадлежит АВ (на рисунке представлен этот вариант).

В первом случае единственная общая точка (А′, АМ) и (В′, ВМ) и есть образ точки М (обозначим его М′), во втором случае из двух точек пересечения окружностей (А′,АМ) (В′,ВМ) та есть образ точки М, которая принадлежит полуплоскости α′ с граничной прямой А′В′, которая является образом полуплоскости α с граничной прямой АВ. Какая из полуплоскостей с границей А′В′ есть α′ определяется с использованием взаимного расположения точек С и М относительно прямой АВ, которое при движении плоскости сохраняется. Иначе говоря С′ и М′ расположены относительно А′В′ также, как и точки С и М относительно прямой АВ.

Преобразования и, в частности, движения пространства могут выполняться последовательно: для какой-либо точки А ее образ при первом движении – А′, а при втором движении пространства образом А является точка А′′. В этом случае автоматически определено отображение пространства, ставящее в соответствие точке А точку А′′. Это отображение, очевидно, будет геометрическим преобразованием пространства, которое произвольную пару точек (А, В) в рассматриваемом случае отображает на такую пару (А′′,В′′), что А′′В′′  АВ (следствие транзитивности отношения  ).

Иначе говоря, последовательное выполнение двух движений дает движение пространства, которое и называют произведением первых двух. Произведение движений – алгебраическая операция на множестве всех движений пространства (любой размерности). Эту операцию называют умножением и, вводя обозначения для произведения движений, обозначают ее символом "◦".

Движения мы обозначаем греческой буквой  (дельта) с использованием как нижних, так и верхних индексов. Таким образом, если δ₁ и δ₂ – два движения, то их произведение обозначается δ₂ ◦ δ₁. Если произведение обозначено δ, то можно сделать запись δ = δ₂ ◦ δ₁. Так как преобразования суть функции, то произведение преобразований есть суперпозиция этих функций. При традиционном обозначении для функций будем иметь: δ₂(δ₁(х)) – произведение δ₁ и δ₂. Отсюда и сложился порядок записи сомножителей в представлении произведения преобразований в виде δ₂ ◦ δ₁: первый сомножитель справа, второй – слева. Отметим еще, что произведение движений некоммутативно в общем случае, поэтому δ₂ ◦ δ₁≠ δ₁◦ δ₂ , хотя, как мы увидим в дальнейшем, для некоторых конкретных видов движений коммутативность умножения может и выполняться.

К движениям можно отнести и такое «преобразование», когда всякой точке А ставится в соответствие эта же точка А, иначе говоря все точки пространства «остаются на месте». Эта идеализация оправдывается тем, что при рассмотрении алгебраической структуры, элементами которой являются преобразования, пополнение множества преобразований этим идеальным элементом превращает его в алгебраическую структуру одного из важных для алгебры видов. Очевидно, что такое «преобразование» пространства естественно относится к движениям, т.к. всякий отрезок конгруэнтен самому себе. Это преобразование обозначим жирной цифрой 1. Ясно, что 1 играет роль нейтрального элемента по умножению для геометрических преобразований и движений пространства, в частности, для любого δ: δ ◦ 1= 1 ◦ δ.

Всякое движение δ, отображающее произвольную точку А в точку А′, порождает отображение δ′ пространства на себя, отображающее всякую его точку А′ в точку А. В силу симметричности отношения конгруэнтности отрезков, это преобразование будет движением. Нетрудно понять, что это движение при умножении на первоначальное движение δ дает 1, иначе

δ′ ◦ δ = 1, точно также и δ ◦ δ′ = 1. В алгебре такой элемент алгебраической структуры называют обратным для рассматриваемого, т.е. δ′– движение обратное для δ. Используем для него стандартное обозначение δ^-1.

Итак, можно теперь сделать

Вывод: Множество всех движений пространства (любой размерности) с

операцией умножения является группой, которую обозначим D.

Отметим теперь признак совпадения (тождественности) двух движений пространства, доказав его для случая движений плоскости. Для этого отметим

Свойство 3. Если движение пространства отображает каждую точку его симплекса в эту же точку, то движение пространства является тождественным.

В случае плоскости его симплексы – тройки неколлинеарных точек поэтому для такого пространства сформулированное выше утверждение приобретает вид: если два движения плоскости отображают каждую точку из числа трех точек плоскости, не принадлежащих одной прямой, в эту же точку, то движение плоскости является тождественным.

Итак, пусть (А, В, С) – тройка неколлинеарных (не принадлежащих одной прямой) точек некоторой плоскости и движение δ отображает А в А, В в В и С в С. Пусть М – произвольная точка плоскости α, которая определяется точками А, В и С. Если допустить, что точка М′, образ М, отлична от М, то прямая АВ – медиатрисса отрезка ММ′ и прямая АС - медиатрисса ММ′.

С одной стороны для отрезка медиатрисса единственна, но в силу сделанного допущения у отрезка ММ′ – две различные медиатрисы АВ и АС (точки А,В и С не принадлежат одной прямой по условию). Это противоречие, возникшее в следствии допущения различия М и М′, и заставляет принять:

М ≡ М′, таким образом, любая точка М плоскости α отображается в себя. Движение плоскости α тождественно.

Рассмотрим условие совпадения двух движений для случая плоскости.

Свойство 4. Если движения плоскости δ₁ и δ₂ отображают тройку

неколлинеарных точек А, В и С в одну и ту же тройку А′, В′ и С′, то эти движения совпадают, иначе δ₁ = δ₂.

Если δ₂ отображает (А, В, С) в (А′, В′,С′), то δ₂^-1 отображает (А′,В′,С′) в

(А, В, С). Следовательно, (А, В, С) (А, В, С). Согласно свойству 3 это означает, что δ₂^-1 ◦ δ₁ = 1. Умножаем обе части этого равенства слева на δ₂, получаем δ₁ = δ₂.

Лекция 2