О понятиях, используемых в учебных курсах геометрии без определений. Геометрическая фигура как «геометрическое место точек».

1º. Наряду с основными (базовыми) понятиями, прямого определения которым не дается по принципиальным причинам логического характера, в геометрии и особенно в ее учебных курсах широко используются без определений ряд понятий, не относящихся к понятиям основным, базовым. Примером тому служат прежде всего понятия «фигура», «тело», «поверхность», «линия». Возникает естественный вопрос о причинах такого положения, тем более, что оно сохраняется и в современных учебных курсах, претендующих на повышенную строгость изложения вплоть до представления в них полного списка аксиом. В настоящей лекции эти понятия будут раскрыты, в первую очередь, через демонстрацию математической сущности этих понятий.

Математическое понятие определяемо, если его математическое содержание можно раскрыть через другие понятия теории по схеме: род и видовое отличие, то есть путем указания:

1. понятия, к которому определяемое относится и

2. последующего перечисления особенностей определяемого, выраженных на языке других ранее известных понятий.

Классический пример: «параллелограмм – это четырехугольник, пары противоположных сторон которого принадлежат парам параллельных прямых». Подчеркнутое понятие можно рассматривать как род понятия «параллелограмм», причем само понятие «четырехугольник» естественно должно быть ранее определено. Видовые отличия выражены через ранее известные понятия «противоположные стороны» и «параллельные прямые». Это логическое требование к определениям понятий математической теории и приводит с неизбежностью к таким понятиям, которые уже невозможно определить в указанном выше смысле. Их приходится, как говорят «принимать без определения», ограничиваясь перечислением их необходимых и достаточных для соответствующей теории свойств. Утверждения, представляющие основные свойства неопределяемых понятий и называют аксиомами.

Возможно ли определить понятие «фигура» через основные понятия геометрии, например, в гильбертовском варианте? Если бы это было возможно, то сами первичные понятия геометрической системы нельзя было бы отнести к классу фигур, что как мы знаем не соответствует сложившейся традиции: и точка, и прямая, и плоскость трактуются нами как конкретного вида фигуры. Таким образом, термин «фигура» естественно рассматривать как название самого общего рода геометрических понятий, когда последние определяются нами по схеме «род и видовое отличие»: окружность – это фигура и т.д., многоугольник – это фигура и т.д. Значит, в иерархии геометрических понятий «фигура» выступает как понятие максимального объема, максимальной емкости, а потому в принципе не может быть определено через основные, базовые, понятия геометрии (известный вариант определения «фигуры» опирается на понятие, не принадлежащее геометрии).

По этой причине, если мы хотим пользоваться понятием «фигура», то его придется рассматривать как еще одно основное, неопределяемое понятие, содержание которого должно быть раскрыто в ряде принимаемых нами соглашений - аксиом.

Анализ вариантов использования понятия «фигура» указывает на то, что с этим понятием связаны отношения принадлежности точки фигуре и совпадения (равенства) фигур, а так же условие существования фигуры. Таким образом, основные понятия – точка и фигура, основное отношение – точка принадлежит фигуре. Обозначив фигуры большой буквой F с индексами, а принадлежность знаком , сформулируем аксиомы «фигуры».