Тема 1. Расчёты на растяжение-сжатие

Расчёт бруса

Брус – это тело призматической либо цилиндрической формы, у которого один размер (длина) велик по сравнению с двумя другими. Брусья могут быть как постоянного сечения, так и переменного; подразделяются на брусья с прямой осью и криволинейной. В данных задачах будем рассматривать брусья постоянного сечения на участке с прямолинейной осью.

Нагрузки на элементы по характеру приложения считают статическими, т.е. в расчетах не учитывают сообщаемых ускорений рассматриваемому телу.

В данном разделе представлены задачи статически определимые и статически неопределимые. Статически определимые – это системы, для которых уравнений статического равновесия достаточно для определения неизвестных усилий. Для системы бруса предлагается:

Расчет брусьев без учёта собственной массы.

Для стержневых систем решаются задачи с определением либо грузоподъемности F, либо площади поперечного сечения стержня А. Данные задачи будут представлять собой статически неопределимые системы, для которых необходимо, кроме уравнения статического равновесия, дополнительно составлять уравнения совместности перемещения.

Под действием внешних сил в брусе возникают внутренние силы, т.е. силы взаимодействия между отдельными частицами бруса. Основной приём, которым пользуются при исследовании внутренних сил, называют методом сечений. Его применяют независимо от рассматриваемого вида деформаций: растяжение-сжатие, кручение, изгиб. При растяжении-сжатии внутренний силовой фактор N, возникающий в сечении, называют нормальной силой (осевой либо продольной).

Метод сечений предполагает выполнить последовательно четыре операции:

7

1.Мысленно рассечем данное тело некоторой плоскостью, проходящей там, где требуется определить внутренние силы.

2. Отбросим одну часть, условно назвав её правой. Тогда оставшаяся часть, в данном случае левая, не будет находиться в статическом равновесии.

3. Заменим действие отброшенной части внутренними силами упругости, равнодействующая которых приводится нормальной силе N.

4. Составим уравнения статического равновесия сил, действующих на левую часть тела. В случае плоского действия сил их будет три:

Для более успешного запоминания и применения метода сечений его можно условно записать как правило РОЗУ: Р – рассечем; О – отбросим; З – заменим; У – уравнения статического равновесия (уравновешиваем).

Формула по определению внутреннего силового фактора имеет вид

,

т.е. нормальная сил равна алгебраической сумме внешних сил, действующих по одну сторону рассматриваемого сечения. Следует обратить внимание на направление и знаки нормальной силы. Нормальная сила считается положительной, если она растягивает брус (сила N направлена от сечения), и отрицательной, если она сжимает брус (сила N направлена к сечению). Направление сил указано на рис 1.1.

Рис.1.1

8

Для задач такого типа рекомендуется направлять нормальную силу от сечения (рис.1.1). Если нормальная сила N, определяемая из уравнения статического равновесия, получена со знаком «+», то действие силы соответствует выбранному направлению: сила растягивает сечение и на эпюре нормальных сил её откладывают вправо от оси отсчета. Если же при расчёте нормальная сила получается со знаком «-», и, следовательно сила N направлена на сжатие, на эпюре нормальных сил её откладывают влево от оси отсчета. Для системы бруса записывается единственное уравнение статического равновесия: .

Количество сечений, в которых определяется внутренний силовой фактор N, зависит от количества характерных сечений, в которых либо приложены сосредоточенные силы, либо резко изменяется площадь поперечного сечения. Тогда количество сечений для определения нормальной силы будет на единицу меньше, чем характерных. Покажем это на примере рис. 1.2.

Рис. 1.2. Схема сил: 1хс – приложение сосредоточенной силы R (характерное сечение); 2хс – изменение площади поперечного сечения; 3хс – приложение сосредоточенной силы F₂; 4хс – приложение сосредоточенной силы F₁.

В сечениях I-I, II-II, III-III определяются нормальные силы из условия статического равновесия. Рассмотрим определение силы на примере решения задачи 1.

Задача 1. Дан ступенчатый брус, по длине которого приложены сосредоточенные силы F. Необходимо определить внутренние силовые факторы в каждом сечении, построить эпюры нормальных сил N и нормальных напряжений . Расчетная схема представлена на рис. 1.3. Собственная масса ступеней бруса не учитывается. Ось Х направим произвольно, в данном случае она направлена вниз. Результатом взаимодействия бруса и жёсткой заделки будет величина реакции R, направление которой выбирается произвольно. Если знак R получается положительным, то направление реакции выбрано правильно.

Запишем уравнение статического равновесия:

9

Для определения внутренних усилий в каждом сечении применим четыре операции метода сечений для каждого сечения в отдельности (рис.1.4).

Рассмотрим сечение I – I:

– закон изменения нормальной силы на участке

– нормальная сила на участке сжимающая. На эпюре N – прямая нулевого порядка, параллельная линии отсчёта.

Рис.1.3

Рассмотрим сечение II – II:

;

– закон изменения нормальной силы на третьем участке (2 – нормальная сила на участке сжимающая. На эпюре N – прямая нулевого порядка, параллельная линии отсчёта.

Рассмотрим сечение III – III:

;

– закон изменения нормальной силы на третьем участке (3,5 – нормальная сила на участке сжимающая. На эпюре N – прямая нулевого порядка, параллельная линии отсчёта.

По полученным данным строится эпюра нормальных сил, т.е. графически интерпретация полученных внутренних усилий.

10

Следует отметить некоторые особенности эпюры нормальных сил N:

1) эпюра ограничена прямыми, параллельными линии отсчёта;

2) в тех характерных сечениях, где приложены сосредоточенные силы, на эпюре получается скачок, равный по величине этой силе;

3) изменения площади поперечного сечения на эпюру нормальных сил не оказывают влияния.