2. Криволинейный интеграл первого рода

П усть на дуге гладкой кривой L определена непрерывная функция z = f(x, y). Разобьем дугу произвольным образом точками , длину частичной дуги обозначим , а . На каждой дуге возьмем произвольную точку P_i(_i, _i) и вычислим значения . Составим интегральную сумму .

Определение 22.3

Если существует конечный предел при _n0 последовательности {_n} интегральных сумм, не зависящий ни от способа разбиения дуги , ни от выбора точек P_i(_i, _i), то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода по от функции f(х, у) и обозначается .

Таким образом, по определению

,

Вычисление криволинейного интеграла первого рода

Если кривая L задана уравнением y = (x), а дуга соответствует изменению x  [a, b], то разбиение на дуги соответствует разбиению [a, b] на части точками a < x₁ < x₂ < ... < x_n = b.

Тогда , _i[x_i-1, x_i]

(по теореме о среднем).

Тогда

Аналогично, если определена уравнением x = (y), y  [c, d], то

.

Если же дугу определяют параметрические уравнения t[,], то

.

Таким образом, криволинейный интеграл I рода тоже сводится к ОИ.

Криволинейный интеграл I рода называют еще криволинейным интегралом по длине дуги.

С физической точки зрения определяет массу неоднородного криволинейного стержня с плотностью  = f(x, y); то есть .

Свойства криволинейного интеграла первого рода:

1. (геометрическая интерпретация криволинейного интеграла I рода)

2. - свойство линейности

3. Если , то = + (свойство аддитивности)

4. Если f(P)  g(P),  то 

5. Если m  f(P)  M, PL, то mL   ML

6. Существует точка Q L: = f(Q)L (Теорема о среднем.)

Рассмотрим пример вычисления криволинейных интегралов I рода.

П ример 1.

Найти массу дуги параболы y² = 2x + 4 между точками пересечения с осями координат, если плотность масс в любой точке пропорциональна ординате точки дуги.

Решение:

 (x, y) = ky, y  0, x = , y  [0, 2]. Тогда

(ед. массы)

3. Криволинейный интеграл II рода

Рассмотрим пространство R². Пусть в области DR² определены две непрерывные функции P(x,y), Q(x,y), тогда в любой точке М(x,y)  D определена векторная функция F(x, y) = (P(x, y); Q(x, y)), которую в векторной форме можно записать в виде: .

Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) определены в точках гладкой дуги кривой L  D. Разобьем дугу на части точками М₁, М₂, ... М_n. На каждой дуге возьмем произвольную точку и вычислим значение .

Пусть [a, b] и [c, d] – проекции на OX и OY соответственно, т.е. x[a,b], y  [c, d], когда М(х, у)  . Каждую частичную дугу спроектируем на оси координат, получим разбиение отрезков [a, b] и [c, d] на n частей, длины частичных интервалов обозначим соответственно х_k и y_k. Составим интегральную сумму вида:

.

Эта сумма представляет собой сумму скалярных произведений векторов на векторы , где , т.е.

Обозначим

Определение 5.1

Если существует , не зависящий ни от способа разбиения дуги на части, ни от выбора точки , то этот предел называется криволинейным интегралом II рода и обозначается или .

Итак, криволинейный интеграл II рода

,

Заметим, что условие →0 равносильно условиям

В отличие от криволинейного интеграла I рода, который еще называют интегралом по длине дуги, криволинейный интеграл II рода называют криволинейным интегралом по координатам.