Определение 2.2

Многочлен ненулевой степени называется неприводимым (неразложимым), если он не имеет нетривиальных делителей.

Очевидно, многочлены нулевой степени и первой степени (линейные двучлены) неприводимы как на множестве действительных, так и на множестве комплексных чисел.

Пусть дан многочлен . Число

Р() = а_п ^п + а_п–1 ^п–1 + ... + а₁+ а₀

называется значением многочлена при z = .

Теорема 2.2 (Безу)

Остаток от деления многочлена на двучлен z –  равен значению многочлена Р(z) при z = .

Доказательство: Используя равенство (1), запишем Р(z) = (z – )S(z) + R(z), причем R(z) = r – константа (многочлен нулевой степени), т.к. согласно теореме 2.1, степень многочлена R(z) меньше степени двучлена (z – ). Положив здесь z = , получим Р() = 0 + r, откуда r = Р(). Теорема доказана.

Таким образом, Р(z) = (z – )S(z) + r,

где r = P() – число, а многочлен S(z) имеет степень п–1, т.е. на единицу меньше степени многочлена Р(z).

Для сокращения записи деления многочлена на двучлен (z – ) удобно использовать схему Горнера. Суть ее в следующем.

Если в результате деления многочлена

Р(z) = а_пz^п + а_п–1z^п–1 + ... + а₁z + а₀

на двучлен (z –  ) получается

частное Q(z) = b_п–1z^п–1 + b_п–2z^п–2 + ... + b₁z + b₀

и остаток r = P(),

то коэффициенты b_k многочлена Q(z) и остаток r можно найти с помощью таблицы:

	аn	an–1	an–2	...	a1	a0
	bn–1 = an	bn–2=an–1+bn–1	bn–3=an–2+bn–2	...	b0 = a1+b1	r = a0+b0

Заполняют таблицу так:

1. в первой строке этой таблицы записывают все коэффициенты многочлена Р(z) (коэффициенты при отсутствующих степенях считают равными нулю);

2. слева от второй строки таблицы записывают число ;

3. в первую клетку второй строки переносят стоящее над ней в первой клетке первой строки число а_п;

4. каждая следующая клетка второй строки заполняется по правилу: содержимое предыдущей клетки умножается на число , к произведению прибавляется число, стоящее в первой строке над заполняемой клеткой, результат записывается в заполняемую клетку:

Если в последней клетке второй строки получился ноль – значит, деление выполнено нацело (без остатка).

Определение 2.3

Число  называется корнем многочлена Р(z), если Р() = 0.

Из теоремы Безу следует что  является корнем многочлена Р(z)  когда z– являются делителем Р(z).

Определение 2.4.

Если многочлен Р(z) делится без остатка на (z – )^т, но не делится без остатка на (z – )^т+1, то число  является корнем кратности т (или т­­-кратным корнем) для Р(z). В этом случае имеет место равенство

Р(z) = (z – а)^тS(z),

где S()  0, т  1.

Корни кратности 1 называют простыми корнями.

Теорема 2.3. (Основная теорема алгебры)

Всякий многочлен Р_n(z) степени п  1 на множестве комплексных чисел имеет хотя бы один корень (без доказательства).

Если  – корень многочлена Р(z), то Р(z) = (z – )S(z), где S(z) –многочлен степени на 1 меньшей степени многочлена Р(z). Следовательно, на множестве комплексных чисел всякий многочлен степени не меньше 2 может быть разложен на множители. Более того, справедлива следующая теорема.