Лабораторная работа №6. Линейная фильтрация полей
Для решения одной из основных задач обработки геологических полей (собственно геологических, геофизических или геохимических полей) на начальной стадии их анализа наиболее широко применяются различные приемы фильтрации.
Геофизическое поле представляет собой в общем случае сумму сигнала a(x) и помехи v(x) F(x)= a(x)+v(x)
-
Определение 1.8
Под сигналом понимается закономерная часть случайного поля, которая содержит полезную информацию о геологическом объекте.
-
Определение 1.9
Помеха - случайная часть поля представляет собой возмущения, препятствующие выделению полезной информации.
Помеха может быть геологического происхождения (связанная с неоднородностями изучаемых геологических тел, влиянием перекрывающих насосов, вторичных геологических процессов и др.) и технического происхождения, связанная с погрешностями измерений, вариациями поля и т.д.
Простейшим способом фильтрации является усреднение по различным реализациям случайной функции, т.е. нахождение ее математического ожидания. Рис. 2.1.
(7.2.1)
где: k - номер реализации, N- число реализации случайного поля.
Недостатком этого способа фильтрации является требование нескольких реализаций на одном и том же профиле, т.е. фактически
нескольких контрольных маршрутов.
Вычисление оценки математического ожидания стационарной случайной функции проводится по формуле :
(7.2.2)
где: n - число пикетов на профиле.
Это можно рассматривать, как своего рода сглаживание, только по одной реализации.
Естественно возникает желание распространить эту идею и на нестационарные случайные функции.
Так можно сделать, если случайная функция достаточно протяженна и подсчет среднего осуществляется на интервале, в пределах которого случайную функцию можно приближенно считать стационарной.
За
сглаженное значение функции в этом
случае принимается среднее значение
случайной функции внутри интервала L с
центром в точке xj
(Среднее значение
относится к середине интервала)
Перемещая интервал вдоль оси Х, каждый раз подсчитывая среднее значение внутри интервала, получим отфильтрованное поле. Рассмотренный метод носит название скользящего среднего или скользящего окна.
В этом случае фильтрация случайной функции методом скользящего окна по одной ее реализации осуществляется по формуле
(7.2.3)
где: L- ширина окна (нечетное число пикетов),
j- номер центрального пикета в окне,
i- номер пикета в пределах окна.
Чем больше L, тем лучше сглаживание, тем более плавной получится сглаженная функция, которой мы фактически оцениваем истинное математическое ожидание. Однако при слишком большом L сгладится и само математическое ожидание случайной функции. Следовательно, возникает задача определения длины окна.
F(x)
L
xj
x
Рис. 2.1
При решении этой задачи обычно исходят из характера корреляционных свойств случайной функции, о которых судят по величине радиуса корреляции R. Длина фильтра не должна превышать 2R.
Проведем фильтрацию случайной функции приведенной в таблице
Рис. 2.2(а).
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
F(x) |
24 |
30 |
27 |
25 |
28 |
12 |
20 |
10 |
6 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
|
F(x) |
15 |
10 |
22 |
18 |
12 |
17 |
15 |
25 |
30 |
|
F(x)
Рис 2.2(а)
Прежде всего, вычислим автокорреляционную функцию.
Рис.2.2(б).
r(θ)
rкр
R
θ
Рис. 2.2(б)
Анализ автокорреляционной функции показывает, что в реализации случайной функции представлены два вида колебаний:
1) c полупериодом, равным 2R=9 пикетам;
2) коротко - периодические колебания, отражающие ошибки
наблюдений.
Эти коротко - периодические колебания, которые в данном случае являются помехой, необходимо отфильтровать. Поэтому ширину окна выбираем (L=7)<9 (нечетное число пикетов).
Отфильтрованное поле приведено на рис. 2.2(в).
F(x)
Отфильтрованное поле
x
L
Рис.2.2(в)
Рассмотренный выше прием линейной фильтрации скользящее среднее,