Бесконечно малые величины

Функция α(x) называется бесконечно малой величиной при x→x₀ или при x→∞, если ее предел равен нулю: α(x)=0.

Иначе:

а) α(x) является бесконечно малой величиной в точке x₀, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε>0 найдется такое положительное число δ=δ(ε)>0, зависящее от ε, что для всех x≠x₀ и удовлетворяющих условию |x–x₀|<δ выполняется неравенство |α(x)|<ε или

;

б) α(x) является бесконечно малой величиной при x→∞, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε>0 найдется такое положительное число S=S(ε)>0, зависящее от ε, что для всех x, удовлетворяющих условию |x|>S выполняется неравенство |α(x)|<ε или

.

Теорема 1 Если функция f(x) имеет при x→x₀(∞) предел, равный A, то ее можно представить в виде суммы этого числа A и бесконечно малой α(x) при x→x₀(∞), т.е. если f(x)=A, то f(x)=A+α(x).

Теорема 2 Если функцию f(x) можно представить как сумму числа A и бесконечно малой α(x) при x→x₀(∞), то число A есть предел этой функции при x→x₀(∞), т.е. f(x)=A.

Свойства бесконечно малых величин

• Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.

• Произведение бесконечно малой величины на ограниченную (в т.ч. на постоянную или на другую бесконечно малую) есть величина бесконечно малая.

• Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля есть бесконечно малая величина.

Замечание Предел отношения двух бесконечно малых величин α(x) и (x) из-за его неопределенности. Если =0, то α(x) называется бесконечно малой боле высокого порядка малости, чем (x), и обозначается α(x)=о((x)). Если =A≠0, то α(x) и (x) –бесконечно малые величины одного порядка малости. В частности, если , то бесконечно малые величины α(x) и (x) при x→x₀(∞) называются эквивалентными и обозначают α(x)(x). Если =∞, то α(x) есть бесконечно малая более низкого порядка малости, чем (x).

Бесконечно большие величины

Функция f(x) называется бесконечно большой величиной при x→x₀, если для любого сколь угодно большого положительного числа M найдется такое положительное число δ=δ(M)>0, зависящее от M, что для всех x≠x₀ и удовлетворяющих условию |x–x₀|<δ выполняется неравенство |f(x)|>M.

Бесконечно большая функция в точке обозначается как f(x)=∞ или f(x)→∞ при x→x₀.

Это же определение в терминах кванторов переписывается так:

.

Если в приведенном определении f(x)>M или f(x)<–M то записывают соответственно f(x)=+∞ и f(x)=–∞.

При x→∞ бесконечно большая величина определяется следующим образом:

.

Замечание Бесконечно большая функция является неограниченной при x→x₀(∞). В то же время, неограниченная функция не обязательно бесконечно большая. Например, функция является неограниченной (ее значения могут быть сколь угодно большими), но не бесконечно большой при x→∞, т.к. с ростом аргумента функция колеблется и может принимать нулевые значения при сколь угодно больших значениях .

Свойства бесконечно больших величин

• Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля есть бесконечно большая величина.

• Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.

• Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами устанавливает теорема. Если функция α(x) есть бесконечно малая величина при x→x₀(∞), то функция f(x)= является бесконечно большой при x→x₀(∞). И обратно, если функция f(x) бесконечно большая при x→x₀(∞), то функция α(x)= есть величина бесконечно малая при x→x₀(∞).