§ 2. Определители.

Пусть дана матрица 2 порядка. .

Определителем квадратной матрицы порядка 2 называется такое число:

(произведение элементов главной диагонали, минус произведение элементов побочной диагонали).

Геометрический смысл: модуль определителя равен площади параллелограмма, сторонами которого являются 2 вектора, координаты которых расположены по строкам (либо столбцам) матрицы.

Если бы мы просто вычисляли площадь параллелограмма, построенного на векторах (2,1) и (1,2), где ни один вектор не расположен вдоль координатной оси, то понадобилось бы найти длину основания, затем высоту. А с помощью определителя, S вычисляется гораздо короче.

Примеры. .

поменяем местами строки, изменится знак:

.

Заметим, что при введении определителя, умножаемые элементы всегда расположены так, что 2 из них не находятся в одной строке или в одном столбце. Кстати, кроме главной и побочной диагонали, в матрице порядка 2 таких наборов элементов больше нет.

Если расположить первые n натуральных чисел 1,2,3,..., n в некотором порядке, возможно, не по возрастанию, а перепутать каким-то образом, то они образуют так называемую перестановку из n чисел. Каждый набор элементов, которые мы перемножаем в определителе 2 порядка, можно задать с помощью перестановки: главная диагональ (12) побочная диагональ (21). Большой прямоугольник в 1 строке, выбираем из 1 столбца, а когда он спустился во 2 строку, там из 2 столбца. Как на схеме:

таким путём мы как раз и получаем главную диагональ с помощью перестановки (12).

Назовём инверсией такую ситуацию, когда большее число в перестановке расположено раньше, чем меньшее. В перестановке (12) инверсий нет, количество инферсий 0, то есть чётно. В перестановке (21) одна инверсия (то есть, их количество нечётно). Число , где k - число инверсий, определяет знак соответствующего произведения, участвующего в построении определителя

Лемма. Существует n! перестановок порядка n.

Доказательство. Для n = 2 это очевидно, перестановки только (12) и (21).

Дальше, доказательство по индукции. Пусть теперь для (n-1) этот факт доказан. Рассмотрим для n. На первом месте может стоять любое из n чисел, и при каждой из этих ситуаций, остаётся (n-1) число, которые должны занять (n-1) место, а это возможно (n-1)! способами. Итак, получается что как раз равно n!, что и требовалось доказать.

В частности, при n = 3 получается 6 перестановок:

(123) (132) (213) (231) (312) (321)

На первом месте одно из 3 чисел, и при этом оставшиеся 2 числа можно расставить на 2 места двумя способами. Получается 6 способов. Заметим, что 3! = 6.

Определитель 3 порядка. Примеры, методы вычисления.

= .

В записи определителя 3 порядка =

каждому элементу соответствует перестановка из 3 чисел.

Представьте себе прямоугольник, который сначала в 1-й строке, а затем спускается ко 2-й и 3-й, внутри него вправо и влево может двигаться квадрат, указывающий на какой-то из элементов. Запишем, в каком № столбца взяли элемент, когда находились в 1-й строке, затем так же во 2-й и 3-й. Например, для получится (231):

для соответствует (123) и т.д. напишем под каждым элементом свою перестановку:

(123) (231) (312) (321) (132) (213)

Видим, что при этом учтены все возможные перестановки, количество которых 3! = 6. Рассмотрим подробнее, как знак определяется по перестановкам. Обозначим дугой каждую инверсию:

Если инверсий нечётное количество (1 или 3), то знак « - », если чётное (0 или 2) то «+». То есть, умножаем на , где k - число инверсий. Знак каждого произведения зависит от чётности или нечётности перестановки.

Все рассмотренные наборы элементов, которые перемножаются между собой, обладают тем свойством, что никакие 2 из них не находятся в одной и той же строке либо одном и том же столбце. Таких наборов всего 6, и они все учтены. А для матрицы порядка 2 таких наборов всего 2, поэтому там определитель состоит всего из 2 слагаемых. Почему же они не могут быть в одной строке или столбце? Ответ простой: ведь перестановка состоит из разных чисел, то есть там нет одинаковых на двух местах, поэтому из одного и того же столбца 2 раза мы не выберем. Из одной строки тем более: находясь в некоторой строке, мы выбираем элемент только 1 раз.

Для матрицы 4 порядка потребуется найти все четвёрки элементов, так чтобы никакие два не оказывались в одной строке или одном столбце. Их будет 24 = 1*2*3*4 = 4!

Запомнить метод вычисления определителей 3 порядка легче всего с помощью произведений по 3 параллельным линиям.

Надо дописать копии 1 и 2 столбца справа, и соединить по 3 параллельных линии: главная диагональ и параллельные ей (показаны зелёным цветом), затем побочная диагональ и параллельные ей (показаны красным). Умножить тройки чисел по 3 зелёным линиям, и взять их со знаком «+» а по красным прибавить со знаком «—». (Кстати, вместо столбцов справа можно дописать две строки снизу, и получится то же самое).

Примечание. Можно запомнить и с помощью треугольников, например, соответствует

Это один из двух треугольников, для которого главная диагональ - это средняя линия. Второй такой треугльник это .

Пример. = 1*2*4 + 1*3*0 + 2*0*1 — 0*2*2 — 1*3*1 — 4*0*1 = 8 — 3 = 5.

Основные свойства определителей и их геометрический смысл.

Свойство 1)

При транспонировании определитель не меняется: = .

Свойство 2) Если строка или столбец матрицы состоит из нулей, то .

Геометрический смысл: Если в системе векторов есть 0 - вектор, то объём параллелепипеда равен 0.

Свойство 3) Если поменять местами любые две строки (или два столбца), то сменит знак.

Это связано с тем, что при смене мест 2 элементов в перестановке меняется чётность: одна инверсия появится или наоборот, исчезнет.

Свойство 4) Если матрица содержит две одинаковых (или пропорциональных) строки или столбца, то .

Доказывается из предыдущего свойства: если в матрице две одинаковые строки, то меняя их местами, мы изменим знак, но они же одинаковы, поэтому не должен измениться. Тогда = , то есть . Для пропорциональных то же самое, так как можем сначала вынести коэффициент за знак определителя, и строки станут одинаковыми, а тогда .

Геометрический смысл. Если два ребра параллелепипеда коллинеарны, то фигура станет плоской, объём = 0.

ЛЕКЦИЯ № 2. 12.09.2017

Свойство 5) Если А, В две квадратные матрицы, то .

Свойство 6) Если любую строку (столбец) матрицы умножить коэффициент с, то увеличится в с раз.

Идея доказательства: если в каждом произведении элементов один из них умножен на с, то вся сумма, состоящая из таких слагаемых, также увеличится в с раз.

Это свойство даёт возможность выносить общий множитель за знак определителя из какой-либо строки. Геометрический смысл: Если умножить на коэффициент даже один из векторов, образующих параллелограмм, то площадь параллелограмма умножится на этот коэффициент.

Если умножить не один, а оба вектора, то площадь увеличится в раз. Для 3 векторов в пространстве и параллелепипеда, если умножить каждый вектор на , то объём вырастет в раз.

Следствие: 6а) .

Свойство 7) Если все элементы какой-либо строки представлены в виде сумм двух элементов:

= + .

то данный определитель равен сумме двух определителей, где в первом из них в этой строке - первые слагаемые, а во втором - вторые (все остальные строки в обоих определителях без изменения).

Доказательство проведём для произвольных матриц 2-го порядка.

(для n аналогично).

= + .

действительно: = = .

Для матриц большего порядка, аналогично, в любом из n! слагаемых по n элементов, какой-то один окажется суммой двух чисел, в итоге каждое слагаемое распадётся на два, и в сумме будет 2 n! слагаемых, где одни n! образуют 1-й определитель, а другое n! - второй.

Свойство 8). Если к любой строке прибавить другую строку, домноженную на число, не изменится.

Доказательство. Если в предыдущем свойстве в роли вторых элементов взяты элементы другой строки этой же самой матрицы, домноженные на коэффициент k, то:

= + тогда во 2-м определителе строки пропорциональны, он равен 0. То есть мы видим, что если к одной строке прибавить строку, кратную какой-то строке из этой же матрицы, определитель не изменится.

Это важное свойство даёт возможность преобразовывать и упрощать матрицы в процессе вычисления определителей.

Замечание. Очевидно, что можно не только прибавить, но и отнять от строки строку, ведь мы можем домножить на коэффициент .

Геометрический смысл. Если к вектору b прибавить вектор a, умноженный на любой коэффициент, то площадь параллелограмма не изменится, основание и высота остались старыми, см. чертёж:

Здесь площадь параллелограмма, образованного векторами a,b такая же, как для образованного векторами a, b+2a.

Из свойства 8 следует, что строки можно складывать и вычитать, на этом основан метод Гаусса приведения к треугольной форме.

Важно! Определитель не меняется (св-во 8), если умножать строку в уме (в буфере обмена) и затем, уже кратную, прибавлять к какой-либо другой. Если же просто умножать строку, которая находится в матрице, то определитель умножится на коэффициент (свойство 6). Это совершенно разные операции, не надо их путать.

Следствие 8 а). Если какая-либо строка матрицы является суммой других строк, то .

Идея доказательства: Если третья строка есть сумма первой и второй, то вычитая 1-ю и 2-ю из неё, получим строку из нулей.

Пример. Вычислить приведением к треугольной форме.

Заметим, что ниже углового элемента (1) число 2. Поэтому из 2-й строки вычтем 1-ю, умноженную на 2. Т.е.вычесть надо строку (2 6).

= = = 1.

Пример Вычислить определитель: методом Гаусса (приведением к треугольной форме).

Применим свойство 8. Постараемся обнулить все элементы ниже .

Из 2-й строки вычтем 1-ю строку: = .

Теперь из 3-й вычтем удвоенную 1-ю, будет .

Чтобы завершить приведение к треугольному виду, вычтем из 3-й строки удвоенную 2-ю, получится . А теперь просто найдём произведение чисел по диагонали, так как привели к треугольной форме. Определитель равен 2. Ответ: 2.

Этот метод особено будет нужен в теме «системы уравнений», но, как видим, помогает и при вычислении определителей.

Взаимосвязь определителя большего порядка и меньшего порядка. Разложение по строке.

Запишем разложение определителя порядка 3.

= .

Вынесем за скобку элементы первой строки (они есть в 2 из 6 слагаемых): .

То, что получилось в скобках, называют алгебраическими дополнениями элементов соответственно .

Выражение в 1-й скобке называется алгебраическим дополнением к элементу , соответственно

- алгебраическим дополнением к , - алгебраическим дополнением к .

Заметим, что , , .

Если для элемента и вычеркнуть всю строку и весь столбец, где он находится, образуется подматрица порядка (n-1). Определитель подматрицы порядка (n-1), которая получилась путём вычёркивания строки номер i и столбца номер j, называется дополняющим минором к элементу . Всего таких миноров , например для матрицы 3 порядка их будет 9 штук. Минор, соответствующий элементу , обозначается .

Мы видим, что в одних случаях алгебраическое дополнение равно минору, а где-то противоположно ему по знаку. Взаимосвязь алгебраических дополнений и миноров для произвольных i,j:

, то есть знаки меняются в шахматном порядке, для верхнего левого элемента знак «+».

Итак, определители можно вычислять разложением по строке:

= .

Общая запись в произвольных обозначениях: .

Разложение возможно по любой строке или по любому столбцу. Так, например, в той же рассмотренной ранее записи можно собрать пары слагаемых, содержащих и точно так же вынести за скобку, получится = =

= здесь чередование знака начинается с минуса, что и должно быть в соответствии с шахматным порядком, о чём сказано выше.

Лемма. Если матрица треугольная, то .

Доказательство.

Пусть дан определитель .

Если разложить его по первому столбцу, где всего один ненулевой элемент и остальные нулей, то сразу переходим к минору меньшего порядка:

+ 0 + ... + 0.

для него получается аналогичное действие, тогда на следующем шаге получаем умножаются на определитель треугольной матрицы, у которой угловой элемент . Продолжая этот процесс, получим .

Замечание. Для диагональных матриц верен такой же факт, ведь диагональная это частный случай треугольной.

Пример.

= = = = 6.

Приведение к треугольному виду очень часто используется для вычисления определителей. Метод Гаусса, который будет подробно изучен в теме «системы уравнений», в полной мере может применяться и для вычисления определителей. Если обнулить элементы ниже главной диагонали, то вычисление определителя сильно упростится.