Определители.

Задача 12. Найти определитель .

Решение. = .

Ответ. 18.

Замечание. Если построить пару векторов в плоскости, то площадь получившегося параллелограмма будет 18.

Задача 13. Найти определитель .

Решение. Допишем копии первых двух столбцов, проведём 3 параллельных линии (главная диагональ и ещё две). Перемножим все эти тройки элементов и внесём в общую сумму с их исходным знаком. А вот для побочной диагонали и линий, ей параллельных, со сменой знака.

=

.

Ответ. .

Замечание. Модуль этой величины равен объёму параллелепипеда, построенного на 3 векторах, если в качестве векторов рассматривать строки либо столбцы.

Так, эквивалентная формулировка этой задачи может быть: найти объём параллелепипеда, одна из верших которого (0,0,0), и 3 ребра расположены по радиус-векторам (1,0,2), (2,4,5), (3,1,1). Ответ: 21.

Если надо найти объём тетраэдра, то дополнительно разделить на 6.

Найти объём тетраэдра с вершинами (0,0,0), (1,0,2), (2,4,5), (3,1,1).

Ответ: 21 / 6 = 3,5. Дело в том, что площадь основания тетраэдра в 2 раза меньше, чем для параллелепипеда, а кроме того, в формуле объёма таких фигур, как пирамида, конус, тетраэдр есть коэффициент 1/3, итого в 6 раз меньше, чем для параллелепипеда.

* Вариант этой задачи: Найти определитель . Ответ .

Задача 14. Найти определитель .

Решение проводится аналогичным образом,

То, что перемножено по зелёным линиям, включим в сумму со знаком плюс, а по красным - со знаком минус.

= .

Ответ. 5.

Задача 15. Найти определитель .

Решение.

. Ответ. .

№ Д3. Найти определитель . Ответ. .

Задача 16. Найти произведение , где

, , .

Решение. Вычислим , сначала умножим первые две матрицы:

= . Теперь умножим на третью матрицу.

= . Ответ. .

Замечание. Если вычислять , то получается точно такой же результат, т.к. выполняется закон ассоциативности.

Замечание. При умножении квадратной матрицы на вектор-столбец получается снова вектор-столбец, то есть квадратная матрица фактически выступает в роли функции, отображающей векторы в пространстве (или на плоскости, если n = 2).

Задача 17. Умножение квадратной матрицы порядка 3 на вектор-столбец из 3 координат (параметры произвольные, задаёт группа).

Задача 18. Найти определитель .

Решение.

. Ответ. 11.

Задача 19. Найти параметр , при котором определитель равен 0:

.

Решение. Вычислим определитель и решим получившееся уравнение:

, , , .

Ответ. .

Задача 20. Найти объём тетраэдра, вершины которого

A(1,1,1), B(2,1,3), C(2,2,4), D(1,2,4).

Решение. Объём тетраэдра ровно в 6 раз меньше объёма параллелепипеда с рёбрами AB, AC, AD.

Найдём эти векторы, и сначала вычислим объём параллелепипеда с помощью определителя, затем поделим на 6.

AB = (1,0,2), AC = (0,1,3), AD = (1,1,3).

= , .

Ответ. Объём тетраэдра равен .

Задача 21. Вычислить определитель с помощью разложения по первой строке.

Решение. Выберем дополняющий минор для каждого элемента 1-й строки, и домножим на

=

= = 8. Ответ. 8.

Задача 22. Вычислить определитель методом Гаусса (приведением к треугольной форме).

Решение. Вычитаем из 2-й строки удвоенную 1-ю, и из 3-й 1-ю.

= затем вычитаем из 3-й строки 2-ю.

получили = 2. Ответ. 2.

Задача 23. Вычислить определитель .

Решение. Здесь можно применить старый, давно известный способ, то есть достроить 2 столбца и перемножить по трём параллельным линиям. А можно и преобразования строк. Но для этого удобно, чтобы в левом верхнем углу было число 1. Мы можем поменять местами строки, учтём, что при этом сменится знак.

= .

В принципе, можно ещё и поменять местами 2 и 3 строки, чтобы знак снова исчез. . А вот теперь уже вычитать из 2-й строки (удвоеннную 1-ю) и из 3-й (утроенную 1-ю).

= . Дальше можно и не преобразовывать, а просто разложить по 1 стролбцу, там всего лишь одно число, остальные нули. = 24. Ответ. 24.

Задача 24 (а,б). Вычислить определитель 4 порядка двумя способами: а) разложением по 1-й строке. б) с помощью преобразований матрицы, т.е. приведением к треугольной форме.