4. Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства.

Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a,b] тогда она интегрируема на этом отрезке и зн.интегрируема на любом отрезке [a,х] содержащимся в [a,b].

Рассм.ф-цию Ф(х)=∫_а^х f(x)dx- её наз.интегралом с переменным верхним пределом.

Св-ва:

1. Ф(х) непрерывна на [a; b]

2. Если f(x) – непрер. на [a; b], то Ф(х) – дифф-ма на [a; b] и Ф’(x)=f(x).

7. Свойства неопределенного интеграла.

1.(f(х)dх)'= f(х)

2.df(х)dх)'=f(х)dх

3.dF(х)=F(х)+С

4.kf(х)dх=kf(х)dх, k0.

5. (f(х)g(х))dх= f(х)dхg(х))

8. Таблица основных неопределенных интегралов.

1. 0dх=С.

2. 2.хdх= х+С.

3. 3. х^dх= +С, 1.

4. соsхdх=sinх+С; 5. sinхdх= –соsх+С;

6.  =tgх+С; 7.  =-сtgх+С;

8.  = ; 8а.  = ;

9.  = ; 9а.  = ;

10. а^хdх=а^х/lnх+С; 10а. е^хdх= е^х + С;

11.  ln|х|+С;12. +С; 13  =ln|х+ |+С

9. Непосредственное интегрирование.

Это вычисл. интегр. с использ. осн. св-в неопр. интегр. и списка табл. интегр.Данный метод также примен. и после предварит. преобр. подынтегрального выр-я к табл.форме.

10.Интегрир-е путем замены переменной (подстановкой)

М-д подстановки

∫f(x)dx= [x=φ(t),t=ψ(x),dx=φ’(t)dt] =∫f(φ(t)φ’(t)dt

Если интеграл непосредственно не вычисляется,можно применить метод,кот. состоит в след.:

-вводится новая переменная

x=φ(t),где t=ψ(x) явл. обратной по отношению к φ(t), dx=φ’(t)dt- дифференциал ф-ции x=φ(t)

Если подстановка выбрана удачно, то интеграл, получ в правой части, вычисляется проще, чем в исходной.

Если ф-ция x=φ(t) непрерывна и монотонна,то обратн. t=ψ(x) всегда сущ.

Вычислив интеграл в правой части по t,следует вернуться к переменной x

∫f(ψ(x)) φ’(x)dx=∫f(t)dt, где t=ψ(x)

1 ∫f(ax+b)dx= ax+b=t, x=(t-b)/a

dx=1/a dt

=∫f(t)1/a dt=1/a ∫f(t)dt=1/a F(t)+C=

=1/a F(ax+b)+C

2 ∫ f’(x)/f(x) dx= ln f(x) +C

3. ∫ df(x)/f(x) = ln f(x) +C

11. Метод интегрирования по частям

Задано: U=U(x), V=V(x),известно: d(UV)=VdU+UdV

проинтегрируем обе части уравнения:

∫ d(UV)= ∫ VdU+ ∫ UdV

UV=∫ VdU+ ∫ UdV=> ∫UdV=UV-∫VdU- ф-ла интегр-я по частям

Смысл ф-лы интегр-я по частям сост в след.: подинтегр выраж-е UdV разб-ся на 2 части т. о.,чтобы интеграл в правой части вычислялся проще,чем исходный.

Основные классы ф-ций,интегрируемых по частям:

1 ∫ ln^m(x)dx, ∫arcsin^mxdx, ∫arccos^m xdx,∫arctg^m xdx

2 ∫Pn(x)lnaxdx,∫Pn(x)e^axdx,∫ Pn(x)sinaxdx,

∫Pn(x)cosaxdx

3 ∫e^axsinbxdx,∫e^axbxdx

4 ∫ (x²+a²)½dx, ∫(a²- x²)½dx, ∫ dx/(x²+a²)^k