Вычисление интегралов.

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), заданной на некотором множестве X, если F´(x) = f(x) для всех x принадлежащих этому множеству X. Если F(x) – первообразная функции f(x), то Ф(х) является первообразной той же функции в том случае, если Ф(х) = F(x) + C, где С – некоторая константа. Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается символом ∫f(x) dx = F(x) + C.

Вычисление неопределенного интеграла с помощью таблицы интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием. Из основных свойств интегралов чаще других при решении конкретных задач используется следующее свойство: интеграл от суммы функций равен сумме интегралов. Поэтому всегда необходимо функцию, стоящую под знаком интеграла, постараться разбить на некоторое количество слагаемых с помощью средств алгебры или тригонометрии.

Наиболее часто встречающимися методами интегрирования являются метод замены переменных, метод подведения под знак дифференциала, являющийся разновидностью предыдущего метода, а также метод интегрирования по частям.

При вычислении определенных интегралов пользуются теми же методами интегрирования, что и для неопределенных интегралов. При этом используется формула Ньютона-Лейбница. Если F(x) – одна из первообразных непрерывной на [a;b] функции f(x), то справедлива следующая формула:

= F(x) = F(b)-F(a)

Таблица основных интегралов

Метод замены переменных.

Существуют следующие два варианта этого метода:

а) метод подведения под знак дифференциала.

Пусть требуется вычислить интеграл ∫f(x)dx. Предположим, что существует дифференцируемая функция u=φ(x) и функция g(u) такая, что подынтегральное выражение f(x) может быть записано в виде:

∫f(x) dx = ∫g(φ(x))∙φ´(x) dx = ∫g(u) du

(указанное преобразование называется подведением u=φ(x) под знак дифференциала).

Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще исходного) и последующей подстановке u=φ(x).

Пример: вычислить интеграл

= =

Пример: вычислить интеграл dx

dx= = =

Операция подведения функции под знак дифференциала эквивалентна замене переменной х на новую переменную u=φ(x).

Пример: вычислить интеграл

Произведём замену переменной по формуле: u=3x+1

Тогда du=3dx, то есть dx= du и

= = +C= +C

Выполненное преобразование эквивалентно подведению под знак дифференциала функции u=3x+1.

б) Метод подстановки. Пусть требуется вычислить интеграл , где функция f(x) определена на некотором множестве Х. Введём новую переменную формулой

где функция дифференцируема на некотором множестве U и осуществляет взаимно однозначное отображение U на Х, то есть

Подставив x= в исходное подынтегральное выражение, получаем:

f(x) dx=f(φ(u))∙φ´(u)du=g(u)du

Далее, справедливо равенство

,

то есть вместо вычисления интеграла необходимо вычислить интеграл (который может оказаться проще исходного), а затем произвести подстановку u=φ(x) .

Пример: вычислить интеграл dx

В рассматриваемом случае область определения подынтегральной функции X= .

Произведём подстановку , u

Тогда dx=2udu, u= , откуда

dx=2 du=

Пример: вычислить интеграл, преобразовав выражение, стоящее под знаком интеграла к табличному интегралу

Пример: вычислить определенный интеграл

Определенный интеграл решается заменой переменной. За новую переменную принимаем cosx=t, тогда –sinxdx=dt. Затем следует изменить пределы интегрирования

Пример: вычислить интеграл

=

Пример: вычислить интеграл

Пример: вычислить интеграл

В данном примере можно ввести новую переменную- (1+cos x), или подвести под знак дифференциала, т.к. d(1+cosx)=-sinxdx

Пример: вычислить интеграл

=