Применение одз в решении уравнений (когда она необходима и является способ решения уравнения):

1. ОДЗ применимо как способ решения уравнения. Пример: →

2. ОДЗ применимо для доказательства, что решения в уравнении нет: = ; lg (1/x)=lg(-x); log₂x=log_x(1-x) (найдите ОДЗ уравнений: под корнем выражения должны быть больше либо равны 0, у логарифма больше 0)

3. В ОДЗ одно или несколько чисел, подстановка которых определяет решение:

   = (можно перебрать решения, и найти ответ x-3>=0 и 3-х>=0) ИЛИ Решите уравнение  В этом примере наоборот сложно его решение. Однако поиск ОДЗ приносит несомненную пользу. В самом деле, ОДЗ:  Значит, ОДЗ нашего уравнения содержит только два числа. А поскольку вне ОДЗ решений быть не может, то корнями нашего уравнения могут быть только эти два числа. Для того чтобы понять, какое из них действительно является решением, нужно полученные числа подставить в уравнение. Подстановка даёт, что x = 0 не является решением уравнения, а x = 1 − является. Ответ. 1.

4. ОДЗ вместе с анализом всего примера = 1. ОДЗ 2x+1 0 2x+3 2 Значит

5. ОДЗ необходима, когда проверка корней затруднена (корни получились слишком большие или сложные)

Методы отсеивания посторонних корней (в.Г. Болтянский «Преодолеть заблуждения, связанные с одз»):

1. Подстановка (получившиеся ответы подставляем в исходное уравнение).

2. Установление равносильности (определение по решению уравнения равносильных преобразований).

3. Проверка на вхождение в область определения функции в левую и правую часть уравнение (утверждение строится по принципу: если х принадлежит пересечению областей определения функций левой и правой части, то он корень уравнения).

4. Использование множества значений функции (пример: при возведении в четную степень иррационального уравнения, накладывается условие, что часть без корня больше 0, что отбрасывает посторонние корни).

5. Переход к совокупности уравнений на примере .

6. Обратное прослеживание (по окончанию решения уравнения, пройти путь вычисления с последнего преобразования к первому на равносильные преобразования) пример:

7. Прямое прослеживание (сущность метода заключается в том, что в процессе решения уравнения добавляются некоторые неравенства, что каждый раз получается система уравнений и неравенств, равносильная исходному уравнению). ПРЕДЫДУЩИЙ ПРИМЕР

Теоремы равносильности, изучаемые в школьном курсе математики:

1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

3. Показательное уравнение af(x)=ag(x), где a>0, a≠1 равносильно уравнению f(x)=g(x).

4. Если обе части уравнения f(x)=g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), которое: a) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения f(x)=g(x); б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение f(x)⋅h(x)=g(x)⋅h(x), равносильное данному.

5. Следствие из 4: Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

6. Если f(x)>0 и g(x)>0, то логарифмическое уравнение log_af(x)=log_ag(x), где a>0, a≠1, равносильно уравнению f(x)=g(x).