2. Элементы векторной алгебры

1. Векторы и действия над ними

Следует различать два типа объектов, встречающихся в естествознании: скалярные и векторные величины.

Скалярные величины – это величины, которые характеризуются числовым значением. Например, скалярными величинами являются масса тела, давление, коэффициент трения и т.д.

Векторные величины – это величины, которые кроме числового значения характеризуются еще направлением. Примерами таких величин являются: скорость тела, сила, действующая на тело, импульс тела и т.д.

Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В, который можно перемещать параллельно самому себе.

Длиной вектора = а называется число (неотрицательное), равное длине отрезка АВ, соединяющего точки А и В.

Нулевой вектор – вектор, начальная и конечная точки которого совпадают: = = О. Его длина равна нулю ( О = 0 ), а направление для него не имеет смысла.

Единичный вектор е - вектор, длина которого равна 1 ( е = 1).

Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы а , b и c , изображенные на рис. 1, коллинеарны.

Рис. 1

Компланарные векторы – векторы, которые лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Равные векторы – векторы, которые коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Суммой а + b векторов а и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а (т.е. вектор b приложен к вектору а) – это правило треугольника (рис. 2).

Рис. 2 Рис. 3

Если векторы а и b имеют общее начало и на них как на сторонах построен параллелограмм, то суммой а + b будет диагональ параллелограмма.

Правило вычитания векторов показано на рис. 3 .

Произведением а (или а) вектора а на действительное число  называется вектор b, коллинеарный вектору а, длина которого а а, а направление совпадает с вектором а , если    , или противоположно а, если   .

Проекцией точки А на прямую l называется точка А^, в которой пересекается прямая l с плоскостью, перпендикулярной к l, проходящей через точку А (рис. 4).

Рис. 4

Проекцией вектора а = (рис. 4) на направленную прямую l называется вектор , где А^и В^ соответственно проекции точек А, В на прямую l.

Проекция вектора а = на направленную прямую l будем обозначать символом (пр_lа ) .

Числовой проекцией пр_lа вектора а на направленную прямую l называется произведение длины вектора а на косинус угла  между вектором а и прямой l

пр_lа = аcos ( а,l ) = аcos ( 0  ).