11. Скалярное произведение векторов. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.

Скалярное произведение векторов а, b назыв. число равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними. a•b = |a|•|b| cos(a;b) Свойства скалярного произведения: a•b = b•a ; a•b = 0 ↔ a b ; λab = aλb ; a(b+c) = ab+ac Выражение скалярного произведения через координаты: пусть а=a_xi+a_yj+a_zk и b=b_xi+b_yj+b_zk. a•b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z (I, j, k – орты) Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат .

12. Векторное произведение. Выражение векторного произведения через координаты векторов.

Т ри некомпланарных вектора а, b и с, взятые в указанном порядке, образуют если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой. Векторным произведением вектора а на вектор b наз. вектор с, который: который перпендикулярен векторам а и b, т.е с а и с b; имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах, т.е |c|=|a|•|b| sin(а;b); векторы a, b, c образуют правую тройку.

Свойства: a x b = -(b x a); a x b=0, при а||b; a x (b+с)=a x b + a x с

Выражение через координаты векторов. Пусть а=axi+ayj+azk и b=bxi+byj+bzk.

13. Смешанное произведение трех векторов. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.

С мешенным произведением векторов а, b, c называют скалярное произведение вектора а на векторное произведение b и c a•(bxc)=a•b•c Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «+», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «-», если они образуют левую тройку.

a•b•c=

a•(bxc)= |a|•|b•с| cos(a;b•с)= =|a|•|b|•|с| sin(b;c) cos(a;b•с)=Sh

Свойства: 1. (axb)•c=(сxа)•b; 2. a•b•c = -a•c•b = -b•a•c = -c•b•a; 3. a•b•c=0, то a, b, c – компланарны. Выражение смешанных произ-ий через коорд. а=(a_x;a_y;a_z), b=(b_x;b_y;b_z), с=(с_x;с_y;с_z)

Двойное векторное произведение: ax(bxc)= b•(axc)-c•(axb)

14. Векторное параметрическое уравнение прямой. Задача о делении отрезка в зад. Отношении.

Т ребуется найти множество радиус векторов прямой, проходящей через точки А и В, если дан полюс О, радиус а (r_A) и радиус b (r_B) AB=r_B-r_A; r_m-?; точка М будет принадлежать прямой АВ, когда МϵАВ; АВ и АМ – коллинеальны; r_m= r_A+АМ; r_m= r_A+t а; r_A – нач. вект. прямой; а – направл. вект. прямой; Геометрический смысл параметра t состоит в следующем:

Т ребуется разделить отрезок АВ соед. точки А(х₁;y₁) и В(х₂;y₂) в заданном отношении λ>0, т.е. найти координаты точки М(х;y) отрезка АВ такой, что АМ/МВ= λ АМ=(х-х₁; у-у₁) ВМ=(х₂-х; у₂-у) (х-х₁)i+ (у-у₁)j= λ(х₂-х)i+ λ(у₂-у)j Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты: формула деления отрезка дан.отнош.

при λ=1 АМ=МВ; λ=0 А и В совп.; λ≠1 в против. случае АМ/МВ=-1, т.е. АМ+МВ=0 → АВ=0