Лекция 8. Магнитное поле в веществе

Поле в магнетике. Всякое вещество является магнетиком, т.е. способно намагничиваться -приобретать магнитный момент. Если внести магнетик в магнитное поле с индукцией , то результирующее поле будет векторной суммой вектора и собственного поля магнетика :

= + . (83)

Вектор не имеет специальных источников, поэтому для поля в

магнетике справедлива теорема Гаусса: Поток вектора сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

. (84)

Это значит, что линии вектора и при наличии вещества остаются непрерывными. Природа магнитных свойств вещества может быть полностью обоснована методами квантовой механики, а в электродинамике можно ограничиться следующими модельными представлениями. Молекулы многих веществ обладают магнитными моментами, обусловленными движением заряженных частиц внутри молекул.

В отсутствие внешнего магнитного поля магнитные моменты молекул ориентированы беспорядочно, поэтому результирующее поле внутри магнетика равно нулю. Если при отсутствии внешнего поля молекулы не обладают магнитными моментами, то внесении поле в молекулах возникают индуцированные круговые токи, в результате чего сами молекулы и вместе с ними и все вещество приобретает магнитный момент и соответствующее собственное поле магнетика . Большинство магнетиков намагничиваются слабо. Сильными магнитными свойствами обладают только железо, никель, кобальт и многие их сплавы.

Намагниченность – это магнитный момент единицы объема магнетика

, (85)

г де суммирование происходит по всем молекулам в физически малом объеме ∆V. Намагниченность можно определить как . Если во всех точках вещества вектор одинаков, то вещество намагничено однородно.

Токи намагничивания . Пусть каждая молекула представляет собой некоторый микроскопический молекулярный круговой ток. Возникновение ориентации магнитных моментов этих токов в поле приводит к появлению макроскопических токов – токов намагничивания . Обычные токи, связанные с перемещением заряженных частиц вдоль проводника будем называть токами проводимости . Механизм появления токов намагничивания можно понять из следующего примера. Пусть имеется цилиндр из однородного магнетика, намагниченность которого направлена вдоль оси (рис.28). Молекулярные токи в данном случае направлены против часовой стрелки и их магнитные моменты образуют вектор . Внутри образца молекулярные токи в местах их соприкосновения текут в противоположных направлениях и поэтому компенсируют друг друга.

Некомпенсированными остаются только те молекулярные токи, которые выходят на боковую поверхность цилиндра. Суммируясь, они создают макроскопический поверхностный ток намагничивания .

Циркуляция вектора . Докажем, что циркуляция намагниченности по произвольному контуру Г равна алгебраической сумме токов намагничивания

, (86)

г де , причем интегрирование производится по любой поверхности S, ограниченной контуром Г. Из рисунка 29 видно, что одни молекулярные токи пересекают поверхность дважды – в противоположных направлениях,  они не вносят вклад в сумму токов намагничивания через поверхность S. Другие токи – те, которые нанизаны на контур Г, пересекают поверхность S только один раз. Именно они и создают поверхностный ток намагничивания . Пусть каждый молекулярный ток равен i

и охватывает площадь s. Элемент контура Г обвивают те молекулярные токи, центры которых попадают внутрь косого цилиндра с объемом (рис.30), где α – угол между и . Вклад этих молекулярных токов в ток намагничивания , где - концентрация молекул. Подставляя объем, получим . Так как магнитный момент отдельного молекулярного тока , а , то . Интегрируя по Г, получим (86), что и требовалось доказать.

Теорема и циркуляции вектора (для магнитного поля постоянных токов). В магнетиках циркуляция вектора будет определяться не только токами проводимости, но и токами намагничивания:

. (87)

Так как определение токов намагничивания сложная задача, удобно ввести вспомогательный вектор , циркуляция которого будет определяться только токами проводимости внутри контура Г. Согласно (86) циркуляция вектора равна сумме токов намагничивания  (87), 

, 

, (88)

где циркуляция вспомогательного вектора = определяется только токами проводимости . Вектор называется напряженностью магнитного поля. Итак,

,  (89)

теорема о циркуляции вектора выглядит так. Циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру Г равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром:

. (90)

Связь между векторами и . Для некоторых магнетиков зависимость между векторами и имеет линейный характер:

, (91)

где - магнитная восприимчивость.

Магнитная восприимчивость может быть больше и меньше нуля.

В соответствии с этим магнетики разделяют на парамагнетики ( >0, ↑↑ ) и диамагнетики ( <0, ↑↓ ). У ферромагнетиков зависимость ( ) имеет нелинейный характер, и зависит от предыстории образца.

Связь между векторами и . Подставим (91)  (89), 

,  ,

 , (92)

где - магнитная проницаемость среды, которая определяется через следующим образом:

. (93)

У парамагнетиков  >1, у диамагнетиков  <1, причем в обоих случаях мало отличается от 1, поэтому эти магнетики являются слабыми.

Природа диа-, пара- и ферромагнетизма. В грубом приближении электрон в атоме движется по орбите, подобно волчку. В этом случае возникает прецессия орбиты – вращение вектора вокруг вектора . Расчет показывает, что для однородного внешнего магнитного поля угловая скорость прецессии одинакова для всех электронов. Вследствие этого возникает дополнительный индуцированный дипольный момент ~ , что и является причиной диамагнетизма. Если бы атомы обладали собственными магнитными моментами, то они ориентировались бы под действием поля, что приводило бы к появлению магнитного момента . Поэтому диамагнитными свойствами обладают атомы, не имеющие собственного магнитного момента.

У парамагнетиков магнитный момент молекул , поэтому в магнитном поле они выстраиваются параллельно вектору (и ). Тепловое

движение препятствует этой ориентации, в результате возникает некоторая преимущественная ориентация. Экспериментально установленный закон Кюри показывает, что магнитная восприимчивость парамагнетиков обратно пропорциональна абсолютной температуре

,

где С – постоянная Кюри, зависящая от структуры вещества.

Из-за нелинейности зависимости ( ) у ферромагнетиков формально вводят , причем  имеет физический смысл только для первоначального намагничивания (участок 01 на рис.31). Максимальное значение  у ферромагнетиков может быть очень велико, например, у железа  ~ 5000.

Зависимость В(Н) называется петлей гистерезиса. При первоначальном увеличении Н индукция магнитного поля В возрастает до некоторой величины (01). При последующем уменьшении Н до нуля (12) индукция В не спадает до 0; величина этой остаточной индукции (0÷2) соответствует остаточному намагничиванию ферромагнетика и объясняет существование постоянных магнитов. Увеличение Н в противоположном направлении (23) приводит к полному размагничиванию при напряженности Н₃, называемой коэрцитивной силой, а затем и к перемагничиванию (34), т.е. переориентации магнитных моментов в противоположном направлении. При последующем уменьшении Н кривая идет по пути 45. При Н=0 (в точке 5) В0. Уменьшение В до нуля происходит при повторном изменении направления и возрастании Н (56). Намагничивание на пути 61 отличается от первоначального (01) и указывает на неоднозначность зависимости .

Ферромагнетизм нельзя объяснить в рамках классической электродинамики. В ферромагнетике действуют межатомные силы, имеющие квантовую природу, которые ориентируют спиновые моменты электронов в атомах параллельно друг другу. Области с параллельно направленными моментами называются доменами (размер ~ 10^-4 см). Во внешнем магнитном поле магнитные моменты доменов ориентируются по полю, значительно увеличивая магнитную индукцию в ферромагнетике. При снятии внешнего поля не все домены разориентируются, поэтому для ферромагнитных материалов характерно сохранение остаточной намагниченности.

Лекция 9. Электромагнитная индукция

Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца. В 1831 году Фарадей открыл явление электромагнитной индукции: в замкнутом проводящем

контуре при изменении магнитного потока (т.е. потока вектора ), охватываемого этим контуром, возникает электрический ток, называемый индукционным.

Появление индукционного тока означает, что при изменении магнитного потока в контуре возникает эдс индукции Ɛ_i . Направление индукционного тока в контуре подчиняется следующему правилу Ленца: индукционный ток направлен так, чтобы противодействовать своим магнитным полем вызывающей его причине.

Математическая формулировка закона электромагнитной индукции Фарадея-Ленца:

Ɛ_i = . (97)

П ри изменении потока магнитной индукции через замкнутый контур в последнем возникает эдс индукции, пропорциональная скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром. Минус в (97) связан с правилом Ленца: если поток растет, то магнитное поле индукционного тока направлено так, чтобы суммарный поток уменьшался, а если поток уменьшается, то - чтобы увеличивался.

Закон электромагнитной индукции является одним из постулатов электродинамики. Однако можно понять природу этого явления из следующего примера. Пусть тонкий проводящий контур с подвижной перемычкой ab длины l помещен в магнитное поле, направленное перпендикулярно рис. 34, от нас. Начнем двигать перемычку (вместе со всеми её свободными электронами) вправо со скоростью . В результате на каждый электрон начнет действовать магнитная сила Лоренца , направленная вниз вдоль перемычки – потечет ток формально направленный вверх (за направление плотности тока принимается скорость направленного движения положительных зарядов, что эквивалентно движению электронов в противоположном направлении). В данном случае сила Лоренца играет роль сторонней силы электрического поля с напряженностью . По определению (37) циркуляция поля дает величину эдс индукции Ɛ_i, в данном случае

Ɛ_i = . (98)

Минус – так как при данном направлении вектора положительное направление обхода контура по часовой стрелке. Произведение есть приращение площади контура в единицу времени ( ), поэтому , где > 0 – приращение магнитного потока сквозь площадь контура. Таким образом,

Ɛ_i = .

Явление самоиндукции. Индуктивность. Явление электромагнитной индукции возникает в замкнутом проводящем контуре независимо от того, чем вызвано изменение магнитного потока. В частности, изменение магнитного потока может быть вызвано изменением тока в этом же контуре. В этом случае явление называют самоиндукцией, а соответствующую величину Ɛ_s – эдс самоиндукции. Если в пространстве, где находится контур с током , нет ферромагнетиков, то в соответствии с законом Био-Саварра поле вектора , а следовательно, и полный магнитный поток Ф будут пропорциональны силе тока

, (99)

где L – коэффициент, называемый индуктивностью контура.

Индуктивность L зависит от формы и размеров контура, а также от магнитных свойств окружающей среды. Если контур жесткий и вблизи нет ферромагнетиков, индуктивность является величиной постоянной.

Если в проводящем контуре изменяется ток, то по закону электромагнитной индукции в нем возникает эдс самоиндукции

Ɛ_s = .

Если индуктивность L постоянна для данного контура, второе слагаемое в скобках равно нулю, и тогда

Ɛ_s = , (100)

где минус обусловлен правилом Ленца: если основной ток в контуре

возрастает, то индукционный направлен в противоположную сторону (рис.35 a). Если основной ток в контуре убывает, то индукционный направлен в ту же сторону (рис.35 b).

Индуктивность соленоида. При прохождении тока по длинному соленоиду, внутри которого находится магнетик с магнитной проницаемостью , в последнем возникает магнитное поле (60), равное . Пусть соленоид имеет площадь поперечного сечения S и полное число витков N. Тогда поток сквозь каждый виток Ф=ВS, а полный поток, сцепленный с соленоидом,

NФ=NВS = .

Так как , где - число витков на единицу длины, - длина соленоида, то NФ= = ( - объем соленоида).

Следовательно, индуктивность соленоида, согласно ее определению (99) равна

.

Э нергия магнитного поля. Замкнем цепь, содержащую индуктивность L и сопротивление R на источник с эдс ℇ_о. В контуре начнет возрастать ток, что приведет к появлению эдс самоиндукции Ɛ_s. По закону Ома ℇ_о + Ɛ_s,  ℇ_о = - Ɛ_s. Источник с эдс ℇ_о за время dt совершит работу ℇ_оIdt. Умножим выражение в рамке на Idt

ℇ_оIdt =RI²dt - Ɛ_sIdt .

Выражение RI²dt=δQ это джоулева теплота, а последнее слагаемое (- Ɛ_sIdt = IdФ), так как по закону электромагнитной индукции Ɛ_s=- . Из этого следует, что работа, которую совершает источник, больше, чем выделяющаяся теплота. Часть

этой работы (IdФ) совершается против эдс самоиндукции и идет на увеличение энергии магнитного поля катушки индуктивности (соленоида). Так как , 

. (106)

Поскольку индуктивность соленоида , а индукция его магнитного поля , то энергию магнитного поля можно выразить как

= = . (107)

Мы учли, что (92), или, в данном случае однородного поля соленоида . Энергия единицы объема (т.е. плотность энергии магнитного поля, ) равна

= . (108)

Для неоднородного магнитного поля плотность энергии , кроме того, расчет показывает, что выражение (108) верно и в векторном виде:

. (109)

Лекция 10. Уравнения Максвелла

Ток смещения. Максвелл выдвинул идею: поскольку меняющееся во времени магнитное поле ( ) создает электрическое поле в соответствии с открытием Фарадея, то следует ожидать, что меняющееся во времени электрическое поле ( ) будет порождать магнитное поле. К этой идее можно

прийти путем, например, следующих рассуждений. Выразим в теореме о циркуляции вектора (90) ток как поток вектора плотности тока (36):

. (110)

Применим эту теорему к случаю, когда предварительно заряженный плоский конденсатор разряжается через некоторое внешнее сопротивление (рис.37). В качестве контура Г возьмем периметр квадрата S, перпендикулярного проводу. Достроим квадрат до куба,

так, чтобы грань параллельная S проходила внутри конденсатора. Пусть поверхность состоит из суммы всех граней куба, кроме грани S. Поверхности S и имеют одну границу - контур Г. Однако через поверхность течет ток I, а через поверхность не течет никакого тока. Получается, что в (110) справа интеграл через поверхность равен нулю, а через поверхность - току I. Т.е. теорема о циркуляции вектора выполняется не для любой поверхности, ограниченной контуром Г, охватывающим ток. Чтобы избежать этой неприятности, заметим, что сквозь поверхность проходит только электрическое поле (через ту ее часть, которая находится внутри конденсатора). Продифференцируем теорему Гаусса для вектора электрического смещения (78) по времени:

.

С другой стороны, согласно уравнению непрерывности

.

Сложив два последних уравнения, получим

. (111)

В этом выражении плотность тока проводимости складывается с производной по времени от вектора , которую Максвелл назвал плотностью тока смещения

. (112)

Сумму тока смещения и тока проводимости называют полным током, Плотность полного тока равна

. (113)

Таким образом, линии плотности тока проводимости замыкаются линиями плотности тока смещения. Покажем, что введение полного тока устраняет описанную выше «неприятность». Введем в правую часть (110) полный ток

. (114)

Покажем, что полный ток будет одинаков для поверхностей и . Применим уравнение (111) к замкнутой поверхности + (полной поверхности куба на рис.37), с учетом того, что для замкнутой поверхности положительная нормаль направлена везде наружу

. (115)

Знак минус появился из-за того, что нормали ( ) для и для (рис.37, b) направлены в противоположные стороны. Отсюда следует, что

, (116)

что и требовалось доказать. Именно таким образом теорему о циркуляции вектора , сформулированную ранее для постоянных токов, следует обобщить для произвольного случая и записать

. (117)

В таком виде теорема о циркуляции вектора справедлива всегда, о чем свидетельствуют результаты эксперимента во всех без исключения случаях.

Несколько замечаний о токе смещения. Ток смещения эквивалентен току проводимости только в отношении способности создавать магнитное

поле. Токи смещения существуют там, где меняется со временем электрическое поле.

Система уравнений Максвелла в интегральной форме. Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Оказалось, что все разрозненные явления электричества можно представить в виде четырех фундаментальных уравнений:

(I) (III)

(II) (IV) ,

где ρ – объемная плотность сторонних зарядов, - плотность тока проводимости. Физический смысл этих уравнений сводится к следующему.

I. Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру равна со знаком минус производной по времени от магнитного потока через любую поверхность, ограниченную данным контуром. При этом под понимается не только вихревое электрическое поле, но и электростатическое, циркуляция которого равна нулю.

II. Поток вектора через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю.

III. Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру равна полному току через произвольную поверхность, ограниченную данным контуром.

IV. Поток вектора через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, находящихся внутри этой поверхности.

Из уравнений Максвелла следует, что электрические и магнитные поля нельзя рассматривать как независимые: изменение во времени одного из этих полей приводит к появлению другого. Так классическая электродинамика приводит к идее единого электромагнитного поля.

Если поля стационарны ( =const, = const), то уравнения Максвелла

распадаются на две группы независимых уравнений, описывающих электрическое и магнитное поля, существующие независимо друг от друга:

(I) (III)

(II) (IV) ,

В таком случае можно изучать электрическое и магнитное поля по-отдельности.

В общем случае уравнения Максвелла невозможно вывести. Правильнее их рассматривать как оптимальный набор постулатов, концентрирующих в себе содержание классической электродинамики.

Материальные уравнения. Четыре уравнения Максвелла не являются полной системой уравнений. Для нахождения полей по заданным распределениям токов и зарядов необходимо их дополнить так называемыми материальными уравнениями, характеризующими свойства среды. Для изотропных сред, без сегнетоэлектриков и ферромагнетиков, и притом не слишком больших электромагнитных полей, материальные уравнения нам уже знакомы:

, , .

В остальных случаях описание среды значительно сложнее.

Лекция 12. Электромагнитные волны

Волновое уравнение для электромагнитной волны. Рассмотрим нейтральную непроводящую среду с проницаемостями  и , где и (54) . Поскольку в данном случае плотности токов и зарядов

равны нулю (=0, j=0), уравнения Максвелла в дифференциальной форме будут иметь вид

(I) (II)

(III) (IV).

Путем достаточно сложных математических выкладок из указанных уравнений можно получить (здесь вывод не приводится):

, (55)

. (56)

Множитель при второй производной по времени определяет скорость распространения волны

, (57)

что для вакуума (=1, =1) дает удивительный результат: скорость волны равна скорости света

. (58)

Таким образом, свет является электромагнитной волной. И наоборот, переменное электромагнитное поле в вакууме распространяется со скоростью

света, независимо от своей частоты! Рассмотрим простейшую электромагнитную волну.

Плоская электромагнитная волна. Пусть плоская волна распространяется вдоль оси х. Поскольку волновые поверхности будут в этом случае перпендикулярны оси х, то векторы и , а  и их проекции на оси y и z не будут зависеть от y и z (иначе волна не могла бы распространяться строго в направлении оси х). Следовательно, в уравнениях I-IV производные по y и z будут равны нулю и уравнения упрощаются. Можно показать, что вторые производные от E_y по времени и координате связаны волновым уравнением

, (60)

и аналогично можно получить волновое уравнение для H_z

. (61)

Ранее из уравнений Максвелла были получены волновые уравнения (55,56) в более общем случае, что позволяет уравнения (60,61) написать для любой проекции. Но тогда мы потеряли бы информацию о геометрии волны.

Как связаны мгновенные значения и ? Пусть E_y = E_y (t-x/с), H_z= H_z (t-x/с). Обозначим фазу φ≡(t-x/с) и вычислим производные: от E_y по координате х; от H_z по времени:

; .

Подставим эти производные в первое из уравнений (59)

,

,

где константа обусловлена наличием постоянной компоненты полей. Нас интересует только переменное поле, для которого положим const=0, 

, (62)

э то означает, что векторы и изменяются синфазно, в частности,

одновременно обращаются в нуль и достигают максимумов/минимумов. Кроме того, эти векторы составляют правовинтовую систему с направлением распространения (рис.14). По этим свойствам и направлению распространения волны можно однозначно определить в каких именно плоскостях колеблются векторы и ( - в плоскости xy; - в плоскости xz) , поэтому уравнения плоской электромагнитной волны принято записывать без указания проекций:

Е=E_m cos(t-kx); H=H_m cos(t-kx). (63)

Обратите внимание! На рис.14 изображена электромагнитная волна: векторы и в каждой точке оси х в некоторый момент времени! Через время, равное половине периода колебаний картина изменится (рис.15). Вообще картина непрерывно изменяется не только в пространстве, но и во времени!

Обратите внимание сейчас, что изображенные на рис. 14 и 15 мгновенные фотографии волны позволяют наглядно увидеть, что вектор в процессе распространения волны все время колеблется в плоскости xy! Поэтому данная волна называется плоско-поляризованной!

Энергия электромагнитной волны. В сущности, - это энергия электромагнитного поля. Плотность этой энергии мы получили, когда изучали электродинамику

(63)

Выражение (63) имеет место для изотропной среды, в которой мы получили соотношение (62),  плотность электрической энергии в этой волне равна плотности магнитной энергии. Это позволяет выразить w несколькими способами:

(64)

Умножив w на , получим плотность потока энергии: П = w =EH, что с учетом ортогональности векторов и можно записать в виде векторного произведения

(65)

Вектор называется вектором Пойнтинга. Подставим Е из (63) в (64): ,  П = w = . По определению, интенсивность такой волны равна среднему значению плотности потока энергии (и учитывая, что <cos²>=1/2), получим

(66)

Этот результат исключительно важен: интенсивность электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуды вектора .

(67)

Импульс электромагнитной волны. Давление света. Пусть электромагнитная волна падает нормально на плоскую площадку S). В данном случае полезно вспомнить, что свет не только волна, но и поток фотонов, имеющих нулевую массу покоя. Согласно теории относительности импульс (который мы обозначим К, чтобы не путать с давлением) объекта с нулевой массой покоя, движущегося со скоростью света и имеющий энергию W равен . Разделим обе части на объем,  , где w – плотность энергии. Вычислим импульс, сообщаемый поверхности за время dt. Выделим вплотную к поверхности слой толщиной cdt,  объем выделенного слоя dV=Scdt. Все фотоны, находящиеся в dV за время dt успеют достичь поверхности и передать ей свой импульс dК: . Но по второму закону Ньютона , 

.

Таким образом, мы получили результат: давление электромагнитной волны равно объемной плотности энергии этой волны

. (68)

На самом деле эта величина пульсирует с очень большой частотой, поэтому практический интерес представляет ее среднее значение,  р = <w>. Для идеально отражающей поверхности это давление будет в два раза больше (ср.: импульс, переданный стенке при абсолютно упругом ударе шарика в два раза больше, чем при абсолютно неупругом). Следует еще добавить, что световое давление очень мало (10^-5Па), по сравнению с атмосферным (10⁵Па).

Лекция 13. Волновая оптика

Различают несколько видов электромагнитных волн: радиоволны, оптический диапазон, рентгеновское и гамма-излучения. Волновая оптика занимается главным образом оптическим диапазоном, который подразделяется (по длинам волн в вакууме) на

ультрафиолетовое излучение………..  = 0,010,4 мкм;

видимое излучение…………………..  = 0,40,76 мкм;

инфракрасное излучение…………….  = 0,761 мм.

Показатель преломления. Поскольку почти все эффекты взаимодействия света с веществом связаны с электрической компонентой электромагнитных волн, принято называть вектор световым вектором и обсуждать главным образом его. Показателем преломления n среды называется отношение

, (70)

где  - скорость света в среде. С учетом выражений (57 и 58) показатель преломления n можно выразить через  и  среды: n= . В оптическом диапазоне большинство материалов, прозрачных для электромагнитных волн, имеют =1,  можно считать, что . Среду с большим n называют оптически более плотной. В веществе длина волны меняется по сравнением с ₀ в вакууме:  = / = с/ n=₀/ n,  в среде с показателем преломления n длина волны равна

. (71)

Интенсивность волны. Интенсивность I – это модуль среднего по времени значения плотности потока энергии. Плотность потока электромагнитной энергии определяется вектором Пойнтинга, 

I = <П>    . Поэтому

. (72)

Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды светового вектора!

Как устроен свет? Казалось бы, дикий вопрос после того, как мы столько раз повторили, что свет – это электромагнитная волна. Это правда, но не вся. Естественный свет испускается атомами нагретого вещества. Излучение отдельного атома происходит в случайном направлении, продолжается приблизительно 10^-8 с и представляет собой цуг волн протяженностью около 3 м. Направление колебаний в каждом цуге случайно. Одновременно излучают множество атомов, соответствующие цуги, накладываясь друг на друга, образуют испускаемую телом волну. Поэтому в результирующей световой волне колебания светового вектора происходят в любых направлениях с равной вероятностью. При прохождении световой волны через некоторую точку направления и фазы светового вектора быстро и беспорядочно сменяют друг друга. Например, если волна проходит перпендикулярно листу (рис.16), то в течение достаточного (очень малого) времени (в центре картинки) в плоскости листа будут зафиксированы все возможные направления светового вектора.

Электромагнитная волна на границе раздела диэлектриков. Пусть плоская электромагнитная волна падает вдоль оси х на границу раздела (плоскость yz – тонирована на рис.17) однородных изотропных диэлектриков с магнитной проницаемостью =1. При этом возникает отраженная и преломленная волны. Обозначим электрическую составляющую падающей, о траженной и преломленной волн вблизи поверхности раздела соответственно , , . На рис.17 в среде 1 изображены векторы и , а в среде 2, за

поверхностью – вектор преломленной волны. Очевидно, отраженная волна пойдет в отрицательном направлении оси х, а

п реломленная в положительном. В плоской электромагнитной волне её электрическая и магнитная компоненты существуют в виде векторов и  ох и параллельных (=тангенциальных) поверхности yz. Поскольку тангенциальные компоненты векторов и сохраняются при переходе границы раздела диэлектриков (мы это доказывали в курсе электродинамики), то алгебраическая сумма проекций в среде 1 должна быть равна алгебраической сумме проекций в среде 2 (и то же самое у проекций H_z):

(73)

(74)

Из (62)  что ; аналогично .

NB! Обратите внимание на расположение векторов отраженных волн (с одним штрихом): направлен в отрицательном направлении оy, а в положительном oz. Значит, их проекции на эти оси будут иметь разные знаки.

Наблюдательный студент спросил бы, - а почему Вы направили вектор ║ в отраженной волне? А потому, что направление распространения с векторами и в любой плоской электромагнитной волне должны составлять правовинтовую систему векторов, в том числе и в отраженной. Тогда еще более наблюдательный студент спросил бы,- а почему вектор направлен в отрицательном направлении оy? А ни почему - бывает и так и так. Теперь стоит вернуться к началу раздела волновая оптика и вспомнить, как показатель преломления связан с .

Итак, (см. строку перед NB.) знаки проекций и должны быть противоположными, поэтому

 - , и (74) можно переписать так: , или . Решив это уравнение совместно с (73), найдем и через и запишем результат в векторной форме:

; . (75)

Отсюда следуют выводы, к которым мы будем не раз обращаться:

1. Векторы и всегда направлены одинаково,  при прохождении через границу фаза не меняется.

2. Вектор однонаправлен с только если n₁>n₂ , т.е. при переходе волны в оптически менее плотную среду. Если n₁<n₂ ,  числитель первой дроби будет < 0, направления векторов и противоположны,  эти векторы совершают колебания в противофазе. Это значит, что при отражении от оптически более плотной среды ее фаза меняется скачком на .

Коэффициенты отражения и пропускания. Пусть световая волна падает нормально на границу раздела однородных изотропных прозрачных диэлектриков. Коэффициент отражения ρ по определению есть отношение интенсивностей отраженной и падающей волн: (см.(72)). Последнее отношение легко выразить из первой формулы (75)

. (76)

Коэффициент пропускания τ найдем аналогично. По определению . С учетом (72) получим , и окончательно (см. вторую формулу из (75))

. (77)

Легко видеть, что ρ+τ=1, потому что ничего не исчезает бесследно: падающая волна разделяется на две: отраженную и преломленную и больше никуда. Вычислим ρ при нормальном падении света из воздуха (n₁=1) на стекло (n₂=1,5),- получится 0,04, отражается около 4 % света.

Геометрическая оптика. Считается, что Вы ее прошли в школе. Поэтому перечислим основные результаты. Основу геометрической оптики составляют три закона:

1. В однородной среде свет распространяется прямолинейно.

2. Угол отражения равен углу падения и оба луча лежат в одной плоскости (она называется плоскостью падения) с нормалью к поверхности раздела.

3. Закон преломления света (закон Снелла): отношение синуса угла падения к синусу угла преломления β равен отношению показателей преломления сред:

. (78)

NB! Все углы отсчитываются не от поверхности раздела, а от перпендикуляра к ней, проведенного из точки падения!

Принцип Ферма. Рассмотрим путь 1→2, который проходит луч света в неоднородной среде. Участок пути ds свет проходит за время dt=ds/, где  - скорость света в данном месте среды. Так как =c/n, то dt=nds/c, и время τ прохождения всего пути 1→2 равно

6 , (79)

г де величина называется оптической длиной пути. В однородной среде L=ns, где s – геометрический путь. Из (79) следует, что время распространения света на пути s в среде со скоростью  равно времени распространения света в вакууме на пути L со скоростью с.

Принцип Ферма утверждает: свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна. Можно показать, что из принципа Ферма следуют все три закона геометрической оптики.

Интерференция света

Когерентность. Рассмотрим с помощью векторной диаграммы суперпозицию двух однонаправленных гармонических волн одинаковой частоты с амплитудами А₁ и А₂ (рис.19). Если разность фаз между ними δ, то результирующую амплитуду А можно найти с помощью теоремы косинусов:

A² = . (80)

Если разность фаз δ изменяется во времени, то такие волны называют некогерентными. Если δ изменяется случайным образом, то среднее по времени значение , поэтому ,  ,  в данном случае интенсивность результирующего колебания равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой из волн в отдельности. Поэтому в результате во всех точках пространства интенсивность одинакова.

Если разность фаз δ постоянна во времени, то такие волны называют когерентными. При наложении когерентных волн, как следует из (80) результирующая интенсивность равна

. (81)

Э та интенсивность зависит от интерференционного слагаемого . В точках, где результирующая интенсивность ; а там, где интенсивность . Таким образом, при наложении когерентных волн в пространстве происходит перераспределение интенсивности: в одних местах возникают максимумы, в других – минимумы. Это явление называют интерференцией волн. Если амплитуды складываемых волн одинаковы ( одинаковы интенсивности), то интерференционная картина особенно контрастна: в максимумах наблюдается , а в минимумах .

Свет, испущенный обычными источниками, можно рассматривать как хаотическую последовательность отдельных цугов (длительностью порядка 10^-8с) синусоидальных волн. При наложении света от разных источников фазовые соотношения между цугами быстро изменяются случайным образом,  эти источники в принципе не являются когерентными. Тем не менее, интерференционную картину можно получить и от обычных источников. Для этого волну, излучаемую одним источником света, разделяют на части, которые затем накладывают друг на друга. Если разность хода этих волн от точки испускания до точки наблюдения не превышает некоторой характерной длины (ее называют длиной когерентности), то случайные изменения амплитуды и фазы в частях волны происходят согласованно и какое-то (короткое) время части волны пребывают в состоянии когерентности и возникает интерференционная картина. Такие периоды когерентности следуют один за другим и картина интерференции существует стабильно в пространстве.

Независимо от способа разделения, способные интерферировать части волны можно для упрощения представлять исходящими из двух точечных когерентных источников S₁ и S₂ (рис.20). В области перекрывания этих двух волн (она называется зоной интерференции) будет возникать система максимумов и минимумов освещенности, которую можно наблюдать на экране Э. Пусть разность расстояний r₁ и r₂ от источников до точки Р экрана равна Δ = r₂- r₁ (её называют разностью хода). Если разность хода равна целому числу длин волн, то колебания, пришедшие в точку Р от обеих волн, будут происходить в одной фазе. Это и есть условие возникновения максимумов в точке Р:

Δ=mλ, где m=0,±1,±2,±3…. (82)

Чтобы в точке Р оказался минимум, Δ должно быть равно полуцелому числу длин волн, чтобы в точку Р волны приходили в противофазе, условие возникновения минимумов в точке Р:

Δ= , где m=0,±1,±2,±3…. (83)

Если волны от источников S₁ и S₂ распространяются не в вакууме, а в среде с показателем преломления n, то время прохождения (а следовательно и число периодов) волны в среде будет таким же, как в вакууме на пути равном оптической длине, т.е. вместо Δ следует взять оптическую разность хода, равную n (r₂- r₁). Поэтому условия (82,83) в среде будут соответственно для максимумов nΔ=mλ, где m=0,±1,±2,±3….; для минимумов nΔ= , где m=0,±1,±2,±3….

Интерференция при отражении от тонких пластинок. Пусть в точку А на поверхность тонкой плоско-параллельной пластинки падает луч света (рис.21). В результате отражений от обеих поверхностей пластинки исходная волна разделится на две (лучи 1 и 2). Если пластинка прозрачна, то

амплитуды волн 1 и 2 мало отличаются друг от друга, что важно для получения достаточно четкой картины интерференции. Оптическая разность хода лучей 1 и 2 равна , где - показатель преломления вещества пластинки. Так как АВ=ВС= ; , то

. (84)

При отражении от верхней поверхности пластинки (от оптически более плотной среды) происходит скачок фазы отраженной волны на π, что соответствует потере полуволны λ/2, и учитывая, что (3-й закон геометрической оптики), получим

. (85)

Если волны 1 и 2 когерентны между собой (не вдаваясь в подробности, можно считать, что это так), то условием максимумов будет: = mλ, где m=±1,±2,±3, или

. (86)

Меняя угол падения, мы будем наблюдать последовательную смену максимумов и минимумов отражения.

Лекция 14. Дифракция света. Поляризация волн

Под дифракцией понимают круг явлений, связанный с отклонением от прямолинейного распространения света. Дифракция возникает, если появляется преграда, закрывающая часть световой волны. Тогда на экране за преградой возникнет дифракционная картина в виде чередования областей минимумов и максимумов освещенности. Решение задач дифракции с помощью

уравнений Максвелла натыкается на значительные математические трудности. Для весьма широкого круга задач пригоден значительно более простой и наглядный приближенный метод, основанный на принципе Гюйгенса-Френеля.

Принцип Гюйгенса-Френеля. Рассмотрим непрозрачную преграду N с отверстием произвольной формы, через которое проходит свет от точечного монохроматического источника С (рис.22). Определим напряженность электрической компоненты световой волны в произвольно точке Р за преградой. Перекроем мысленно отверстие в преграде произвольной поверхностью S и разобьем ее на элементарные участки dS. Френель предложил считать каждый такой элементарный участок источником вторичной сферической волны. Достигнув точки Р, амплитуда этой волны будет пропорциональна амплитуде первичной волны и самой dS, и обратно пропорциональна расстоянию r от dS до Р. В результате точки Р достигнет колебание электрического вектора, величина которого меняется по закону

, (87)

г де коэффициент К зависит от угла θ между нормалью к dS и направлением на точку Р. Логично допустить, что коэффициент К монотонно убывает по мере увеличения θ. Результирующее колебание в точке Р равно

. (88)

Мы получили математическую формулировку принципа Гюйгенса-Френеля. Суть его в следующем: для определения электрической компоненты световой

волны в точке Р, лежащей за некоторой поверхностью S, являющейся источником вторичных волн, необходимо найти колебания, приходящие в эту точку от всех элементов dS этой поверхности, а затем сложить их с учетом амплитуд и фаз при помощи векторной диаграммы (рис.23). На этой диаграмме результирующая амплитуда = сумме амплитуд .

Рассмотрим при помощи принципа Гюйгенса-Френеля дифракцию от круглого отверстия.

Разобьем волновую поверхность на кольцевые зоны таким образом, чтобы расстояние от внешней границы очередной зоны до точки Р отличалось на λ/2 (рис.24). Нетрудно сообразить, что внешний радиус m-й зоны равен

. (89)

Если на отверстие падает плоская волна, то

. (90)

Площади зон = π , т.е. практически одинаковы. Однако амплитуды колебаний, приходящих в точку Р, по мере увеличения m монотонно и очень медленно убывают из-за увеличения расстояния r_m и роста угла θ . Фазы колебаний, возбуждаемых в точке Р соседними зонами, отличаются на π, поэтому векторы амплитуд нечетных зон противоположны векторам-амплитудам от четных зон. Если число зон нечетное, то в точке Р наблюдается максимум, если число зон четное, то – минимум.

Амплитуду результирующего колебания можно получить графически, как мы указывали выше: каждую зону и всю поверхность делят на весьма узкие (дифференциально узкие подзоны площадью dS). Тогда результат действия 1-й зоны Френеля можно изобразить диаграммой (рис.25а), которая соответствует сдвигу фаз на π в пределах от центра до внешней границы зоны и дает максимально возможную амплитуду А₁. Результат действия первых двух зон (рис.25b) дает амплитуду А₂, близкую к нулю; трех зон - А₃ (рис.25с), чуть меньшую максимальной и так далее. Амплитуда А_∞ при всех открытых зонах составляет половину А₁. Поэтому интенсивность в точке Р в этом случае парадоксальным образом оказывается в 4 раза меньше, чем при открытой только первой зоне (напомним: интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды). Отсюда следует объяснение наблюдаемой на экране за отверстием картины чередования темных и светлых полос.

Дифракция от щели. Пусть на щель ширины b падает нормально плоская световая волна (рис.26). Разобьем щель на зоны в виде узких полосок одинаковой ширины параллельных краям. Амплитуды колебаний, приходящих в точку Р от каждой зоны, имеют одинаковую амплитуду dA, поскольку распространяются параллельно

друг другу перед линзой (на прохождение внутри линзы все параллельные

лучи тратят одинаковое время). Разность фаз между соседними зонами будет одинаковой. Следовательно, на векторной диаграмме будут суммироваться одинаковые по модулю векторы , повернутые друг относительно друга на один и тот же угол. Если разность хода лучей составляет =λ, то их разность фаз δ=2π и амплитуда результирующего колебания обращается в нуль. Это первый минимум дифракционной картины, представляющей собой симметричную относительно середины систему чередующихся светлых и темных полос, параллельных щели. Результирующая амплитуда обращается в нуль и тогда, когда разность хода  равна целому числу длин волн. Поскольку =bsinφ (рис.26), то окончательно, условием дифракционных минимумов будет

, где m=1,2,3… (91)

При m=0 (в точке экрана напротив центра щели) наблюдается максимум, так как в этом случае разность фаз δ=0. Качественно картина распределения интенсивности на экране представлена на рис. 27.

Дифракционная решетка является спектральным прибором, служащим для разложения света в спектр. Она представляет собой стеклянную или металлическую пластинку, на которой нанесено очень много (до 10⁵) прямых равноотстоящих штрихов. Рассмотрим идеальную решетку, состоящую из одинаковых равноотстоящих щелей. Пусть ширина каждой щели равна b, а период решетки d (d=а+ b), где а расстояние между щелями. Пусть на решетку падает нормально плоская монохроматическая световая волна (рис.28). Каждая из щелей давала бы картину, показанную на рис. 27. И такие картины в отсутствие

когерентности точно накладывались бы друг на друга, независимо от их положения. Интенсивности при этом складывались бы, и мы получили бы от N щелей дифракционную картину как от одной щели, но усиленную в N раз.

При освещении решетки когерентным светом, световые волны от всех щелей интерферируют друг с другом, и дифракционная картина резко меняется (рис.28 а). Мы будем наблюдать систему достаточно узких максимумов. Поэтому, строго говоря, картина является дифракционно-интерференционной. Рассмотрим главные максимумы. В середину дифракционной картины когерентные колебания от всех щелей приходят в фазе. Это значит, что если амплитуда от одной щели равна А₁, а число щелей N, то результирующая амплитуда A и соответствующая ей интенсивность I будут определяться формулами

A= А₁N, I=I₁N². (92)

Такой же результат (рис.28 b) получается и для углов дифракции φ, для которых оптическая разность хода  колебаний от соседних щелей равна целому числу длин волн:

, , (93)

где знаки «±» следуют из симметрии дифракционной картины относительно

нормали к решетке. Справедливости ради, следует сказать, что имеют место еще и максимумы не «главные», но их интенсивности значительно меньше, кроме того, используются дополнительные меры для их подавления. В эти специальные вопросы мы вдаваться не будем. Формулу (93) называют формулой дифракционной решетки.

Поляризация света

Волну, в которой направление колебаний светового вектора упорядочено каким-либо образом, называют поляризованной. Если эти колебания происходят только в одной плоскости, проходящей через луч, то волна называется плоско- (или линейно-) поляризованной. Плоскость, в которой колеблется вектор называется плоскостью поляризации. В естественном свете колебания вектора в любой фиксированной точке среды происходят в разных направлениях, быстро и беспорядочно сменяя друг друга. Естественный свет можно представить в любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения в виде суммы двух волн с взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации.

Поляризаторы. Так называются приборы, которые свободно пропускают колебания светового вектора, параллельные плоскости, которую мы будем называть плоскостью пропускания поляризатора. Колебания, перпендикулярные этой плоскости полностью задерживаются.

Степень поляризации. Когда плоскость пропускания поляризатора параллельна направлению максимального значения вектора , наблюдается максимальная интенсивность пропускания поляризатора, а когда перпендикулярна – минимальная интенсивность пропускания поляризатора. Измеряя эти интенсивности, можно судить о качестве (степени) поляризации частично-поляризованного света. Частично-поляризованный свет характеризуют степенью поляризации Р, которую определяют как

. (94)

Здесь - интенсивность поляризованной составляющей, - полная интенсивность: . Для плоско поляризованного света Р=1, для естественного Р=0.

Закон Малюса. Поляризаторы можно использовать и в качестве анализаторов – для определения степени поляризации света. Пусть на анализатор перпендикулярно листу падает линейно-поляризованный свет, световой вектор которого составляет угол φ с плоскостью пропускания Р (рис.29). Анализатор пропускает только ту составляющую вектора , которая параллельна плоскости пропускания Р,  . Следовательно, интенсивность пропорциональна квадрату Е, 

. (95)

Э то и есть закон Малюса, где I_o – интенсивность падающего плоскополяризованного света. Пусть на систему из двух поляризаторов, плоскости пропускания которых повернуты относительно друг друга на угол φ, падает естественный свет интенсивности I_o. После прохождения первого поляризатора интенсивность уменьшится вдвое из-за равной вероятности любых направлений светового вектора в падающей волне. Таким образом, на второй поляризатор упадет плоскополяризованный свет с интенсивностью I_o / 2. Второй поляризатор согласно закону Малюса пропустит . Поляризация при отражении и преломлении. Закон Брюстера. Если угол падения естественного света на границу раздела двух прозрачных диэлектриков отличен от нуля, то отраженный и преломленный пучки оказываются частично-поляризаванными.

В отраженном свете преобладают колебания вектора , перпендикулярные к плоскости падения, в преломленном свете – параллельные плоскости падения. Степень поляризации обеих волн зависит от угла падения.

При некотором значении угла падения отраженный свет становится полностью поляризованным, а его плоскость поляризации перпендикулярной к плоскости падения. Этот угол называется углом Брюстера θ_Бр и подчиняется закону Брюстера:

. (96)

Угол Брюстера θ_Бр является углом полной поляризации. На рис. 30 на отраженном и преломленном лучах показаны направления колебаний вектора . Легко убедиться, что отраженный и преломленный лучи составляют прямой угол, если угол падения = θ_Бр. Для этого достаточно решить совместно (96) и закон Снелла (78). Степень поляризации преломленной волны при падении под углом Брюстера θ_Бр достигает максимального значения, однако эта волна остается лишь частично-поляризованной.

В типичных условиях (например, на границе стекло-воздух) большая часть интенсивности приходится на преломленную волну. Можно повысить степень ее поляризации, последовательно пропуская свет через несколько одинаковых параллельных друг другу пластинок, установленных под углом Брюстера. При достаточно большом числе пластин прошедший свет будет практически полностью линейно поляризованным, а его интенсивность будет равна половине интенсивности падающего света.

Квантовая физика

Лекция 1. Тепловое излучение

А бсолютно черное тело. Электромагнитное излучение, возникающее за счет внутренней энергии нагретых тел, называется тепловым. Пусть излучающее тело, находится в зам­кнутой полости с идеально отражающими стенками (рис. 1). Выделим мысленно внутри полости площадку. При равновесном излучении количество лучистой энергии, проходящей в 1 с через площадку в одном направле­нии, равно энергии, проходящей через эту же площадку в обратном направлении. Тепловое излучение описывается распределением энергии по спектру излучения и энергией, излучаемой в единицу времени с единицы площади поверхности.

Потоком излучения Ф называется средняя по времени мощность излучения:

(1)

где W - энергия, излучаемая за время t.

Энергетической светимостью тела называется энер­гия, излучаемая в единицу времени единицей поверхности тела

. (2)

Подставляя (1)(2), получаем

(3)

Испускательная способность (она же спектральная плотность энергетической светимости) тела описывает распределение энергии по спектру излучения:

. (4)

Очевидно, r_ω и R связаны интегральным соотношением:

(5)

где  - циклическая частота, связанная с длиной волны:

Падающее на тело излучение может пропускаться (если тело прозрачно), поглощаться и отражаться. Введем коэффициенты:  - пропускания,  - отражения,  - поглощения, где каждый коэффициент определяет соответствующую долю потока излучения: . Если =0, =0, то тогда =1, и тело только поглощает. В общем случае зависит от  и Т и называется поглощательной способностью. Абсолютно черным называется тело, полностью поглощающее падающий на него поток излучения. Для абсолютно черного тела

(6)

Моделью абсолютно черного тела является замкну­тая полость с малым отверстием, которая поддерживается при постоянной температуре. Излучение, падающее извне, полностью поглотится стенками полости вследствие многократных отражений и поглощений стенками. Излучение, выходящее через отверстие, будет подобно равновесному излучению абсолютно черного тела при этой температуре.

Закон Кирхгофа. Рассмотрим равновесное тепловое излучение, которое нахо­дится между двумя бесконечными плоскопараллельными пласти­нами из разных материалов, имеющими одинаковую температуру

(рис. 2). Пусть - испускательная и поглощательная способности левой (первой) пластины; - испускательная и поглощательная способности правой (второй) пластины. На единице поверхности правой пластины в единицу времени поглощается электромагнитная энергия . Аналогичная величина для левой пластины равна . При тепловом равновесии

,

(7)

Э то - закона Кирх­гофа: отношение испускательной способности любых тел к их поглощательной способности не зависит от природы тела, а является для всех тел одной и той же функцией температуры и частоты. Функция f(,T) называется универсальной функцией Кирх­гофа. Для абсолютно черного тела введем значок 0, тогда . Так как для абсолютно черного тела , то

. (8)

Таким образом, универсальная функция Кирх­гофа – это и есть испускательная способность абсолютно черного тела.

Закон Стефана-Больцмана устанавливает связь между энергетической светимостью и температурой тела: энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температу­ры тела

, (9)

где =5,6710^-8 Вт/м²К⁴. Если (9) записать в виде где 0<k<1, то, зная k, можно использовать (9) и для тел, не являющихся абсолютно черными.

Спектральная плотность энергетической светимости ( или ) может быть введена не для интервала частот (4), а для интервала длин волн:

. (10)

Закон смещения Вина: длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолют­но черного тела, обратно пропорциональна абсолютной темпе­ратуре тела.

, (11)

где С=2,910^-3 мК. На рис. 3 в соответствии с (11) ₀₂>₀₁,  Т₁>Т₂. Площадь под кривой численно равна энергетической светимости абсолютно черного тела при соот­ветствующей темпе­ратуре.

Формулы Рэлея-Джинса и Планка. Для нахождения вида функции Рэлей и Джинс исходили из теоремы о равном распределении внутренней энергии по степеням свободы. В результате была получена формула

(12)

которая согласуется с опытом только при больших длинах волн (малых

ч астотах). На рис. 4 представлены опытная зависимость r_о, (кривая 1) и кривая 2, полученная из формулы (12). Интегрирование (12) в пределах от 0 до  дает для энергетической светимости бесконечно большие значения, что

иронично называется "ультрафиолетовой катас­трофой". На самом деле при

малых длинах волн неверна классическая формула (12). Чтобы получить правильную формулу для f(,Т) Планк рассмотрел полость с зеркальными стенками, внутри кото­рой находятся осцилляторы - элементар­ные излучатели и поглотители электромагнитного излучения. Планк допустил, что осциллятор обладает дискретным спектром значений энергии и может изменить свою энергию только на величину, кратную где - постоянная Планка. Так была полу­чена формула Планка

. (13)

П ри малых  эта формула переходит в формулу Рэлея-Джинса (12). Из формулы Планка можно получить эксперимен­тальные законы Стефана-Больцмана (интегрированием формулы (13) в пределах от 0 до ) и смещения Вина (если решить задачу на нахождение экстремума). Гипотеза об испускании и поглощении электромагнитного излучения квантами легла в фундамент квантовой физики.

Лекция 2. Фотоэффект. Эффект Комптона.

Фотоэффектом называется испускание элек­тронов под действием электромагнитного излучения (рис. 5). Из­лучение попадает в откачан­ный баллон 1 через кварцевое окно 2. Напряжение между катодом (К) и анодом (А) изменяется потенциометром (П). Электро­ны, испускаемые фотокатодом, создают ток. Зависимость фототока I от напряжения U приведена на рис. 6. С некоторого напряжения U фототок дости­гает насыщения (I_н).

С этого момента все электроны, испускаемые катодом, достигают анода. Даже при малых отрицательных значениях U фототок отличен от 0. Следовательно, кинетическая энергия некоторых фото­электронов оказывается достаточной для того, чтобы электроны попадали на анод. Величину U_з можно определить из условия:

г де e - заряд, т - масса, _max - максимальная скорость фотоэлектрона. Максимальной скоростью обладают электроны, выбиваемые с поверхности металла. Опытные законы фотоэффекта - следующие.

1. Фототок насыщения при падении на катод монохроматического потока излучения, пропорционален величине этого потока (закон Столетова):

2. Максимальная скорость фотоэлектронов не зави­сит от величины потока излучения, но опреде­ляется частотой падающего на фотокатод излучения

3. Для каждого металла существует некоторая мини­мальная частота _min (или максимальная длина волны _max) падающего излучения, при кото­рых еще имеет место фотоэффект. Эту длину волны _max называют красной границей фотоэффекта.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Фотоны. Развивая идеи М. План­ка, А.Эйнштейн в 1905 г предпринял успешную попытку объяснения законов фотоэффекта. В соответствии с этой теорией энер­гия ( ) каждого кванта должна расходоваться на работу выхода электрона из металла (A) и сообщение фотоэлектрону кинети­ческой энергии.

Формула Эйнштейна для фотоэффекта имеет вид

. (14)

Из этой формулы следует выполнение второго и третьего законов фотоэффекта. Найдем выражение для красной грани­цы фотоэффекта. Минимальную энергию кванта, при которой еще возможен фотоэффект, определим из формулы (14):

,  

. (15)

Квант (фотон) имеет скорость c=310⁸ м/с, масса покоя его равна 0. Импульс фотона

(16)

где k - волновое число. Фотон движется в направлении распространения электромагнитной волны.

Эффект Комптона состоит в том, что при рассеянии рентге­новских лучей с длиной волны _о, в рассеянном излучении присутствуют не только _о, но и большие длины волн  >_о. Согласно классической теории при рассеянии не должно быть изменения длин волн. Опыты Комптона показали, что эффект является результатом взаимодействия падающих на вещество рентгеновских фотонов со свободными электронами атомов. При этом смещение длины волны =-_о зависит только от угла рассеяния  и не зависит от рассеивающего вещества. Законы сохранения энергии и импульса (рис.7) для взаимодействия рентге­новского кванта со свободным

электроном имеют вид

(17)

(18)

г де и - энергии, и - импульсы падающего и рассеянного фотонов; - энергия свободного электрона, масса которого ≈ массе покоя m₀; и - энергия и импульс электрона после взаимодейст­вия с фотоном. Связь между энергией и импульсом релятивистского электрона (см. инварианты теории относительности) имеет вид

. (19)

Из (17) найдем

;

Из (18) 

,

что подставим в (19). После сокращений получим

(20)

Переходя к длинам волн, получим величину сдвига длины волны в эффекте Комптона

, или

, м.

Величина  весьма мала, и обнаружить ее можно только для рентгеновских лучей. Для видимого диапазона измерить столь малое изменение длины вол­ны практически невозможно. Наличие несмещенной компоненты в рассеянном излучении обусловлено внутренними электронами атомов рассеивающего вещества. Их энергия связи сравнима с энергией рентгеновских фотонов, значит, такие электроны уже нельзя считать свободными. В этом случае обмен энергией и импульсом рентгеновского фотона происходит с атомом как целым. Поскольку масса атома значительно превышает массу электрона, комптоновское смещение фотонов на таких атомах ничтожно и длина рассеянной волны совпадает с длиной волны падающего излучения.

Лекция 3. Строение атома

Модель атома Томсона. Опыты Резерфорда по рассеянию -частиц. Согласно модели атома Томсона, положительный заряд равномерно рас­пределен по всему объему атома, в который вкраплены электроны. Для проверки правильности этой модели в 1911-1913 гг. Резерфорд выполнил эксперименты по рассеянию -частиц (рис.8). Узкий пучок -частиц из источника 1 падал на тонкую фольгу 2. В том месте на экране 3, куда попадали -частицы, происходили вспышки, видные под микроскопом 4. Микроскоп с экраном располагался под разными углами . Установка находилась в откачанном сосуде для исключения столкновений -частиц с молекулами воздуха. Если модель Томсона справедлива (в атоме нет объектов, сравнимых по массе и величине заряда с -частицей), то после прохождения металлической фольги - частицы не должны менять свое направление.

Действительно, поч­ти все -частицы не отклонялись от первоначального направ­ления, однако некоторые, примерно 0,01 % , отклонялись на углы  >90°. Следовательно, основная масса атома сконцентрирована в весьма малом (по сравнению с самим атомом) положительно заряженном ядре размером ~10^-14 м по оценке Резерфорда. Боль­шинство -частиц пролетает, не взаимодействуя с ядрами, и не меняет своего направления. Резерфорд предложил планетарную модель атома: в центре атома находится положительно заряженное ядро, а вокруг ядра вращаются электроны. Однако в соответ­ствии с классической электродинамикой, электрон, двигаясь с центростремительным ускорением вокруг ядра, должен излучать энергию и, в конце концов, упасть на ядро, т.е. атомы должны быть неустойчивыми системами, что противоречит опыту. Модель Резерфорда не в состоянии разрешить это противоречие.

Постулаты Бора. Датский физик Н.Бор в 1913 г. предложил теорию атома, в основе которой лежат два постулата:

1. Электроны в атомах могут находиться только на определенных стационарных орбитах, при этом не происхо­дит ни излучения, ни поглощения энергии. Условием стационарности орбит по Бору является квантование орбитального момента импульса электрона:

, (21)

где n = 1,2,3,…

m - масса электрона,

- его скорость,

r - радиус орбиты.

2. Излучение и поглощение энергии атомом происходит при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую. При этом величина кванта излучения или поглощения равна разности энергий

соответствующих стационарных состояний:

(22)

Первым доказательством существования у атомов дискретных энергетических уровней является опыт Франка и Герца (рис. 9). В трубке при пониженном давлении находят­ся пары ртути. Батарея Бс создает небольшое задерживающее поле (-0,5 В) между сеткой (С) и анодом (А). Ток регулируется потенциометром П. На рис. 10 представлена зависимость силы тока от напряжения между катодом и сеткой. При U=4,9 В энергия электронов равна 4,9 эВ. Пока энергия электронов меньше этой величины столкновения с атомами ртути носят упругий характер, энер­гия электронов при этом не меняется, с ростом U растет I. При достижении электроном энергии 4,9 эВ и больше столкновения перестают быть упругими. Электроны отдают атомам ртути энергию 4,9 эВ. Оставшейся энергии может не хватить для достижения ими анода. Следовательно, разность между двумя дискретными уровнями атома ртути составляет 4,9 эВ. столкнуться с атомами ртути и т.д. При энергии электронов 9,8 эВ они могут дважды не упруго столкнуться с атомами ртути и т.д.

Лекция 4. Теория атома водорода и

водородоподобных ионов по Бору. Гипотеза де Бройля

Водородоподобными ионами называются ионы, имею­щие один электрон, в частности, Не⁺, Li⁺⁺, Ве⁺⁺⁺_.. Для электрона на орбите имеет место второй закон Ньютона:

. (23)

Из (23) и (21) можно определить радиус орбиты, скорость электрона на орбите, энергию элек­трона. Из (23) следует

(24)

Поделим (24) на (21): , 

. (25)

Подставим (25)(23)

(26)

Полная энергия электрона на орбите складывается из кинетической и потенциальной энергии, причем потенциальная энергия отрицательна.

(27)

Из (23) следует  (27). Тогда полная энергия равна

(28)

(26)(28) 

(29)

Таким образом, полная энергия электронов в стаци­онарных состояниях является отрицательной. Для атома водорода =1.

Закономерности в атомных спектрах. Недостатки теории Бора. Теория атома Бора позволила объяснить происхождение спектров атома водорода и водородоподобных ионов. Согласно Бору, частоты электромагнитных волн, излучаемых атомами, определяются разностью энергий стационарных состояний до и после излучения. К концу XIX было установлено, что атомные спектры состоят из отдельных линий, которые могут быть объединены в серии. Так, например, в спектре водорода фиксируется пять серий. В ультрафиолетовой области спектра наблюдается серия Лаймана, частоты линий которой подчиняются соотношению

, (30)

где R - постоянная Ридберга. Для серии Бальмера (видимая область спектра) выполняется соотношение

. (31)

Для частот линий всех серий справедлива формула

, (32)

При n,  . Это значение частоты называется границей серии. Теория Бора хорошо объясняет приве­денные выше закономерности. На рис. 11 представлены энергетические уровни атома водорода и переходы,

соответст­вующие сериям Лаймана (a), Бальмера (b) и Пашена (c). При больших значени­ях n уровни практически расположены непрерывно. Несмотря на успехи теории Бора, ей присущи и недостатки: 1) она не является ни последовательно классической, ни последовательно квантовой; 2) не объясняет устойчивости атома; 3) не позволяет создать теорию атома гелия и других атомов. Теория Бора, великолепно разрешив целый ряд физических задач, оказалась неспособной к объяснению других. Таким образом, теория Бора является только одним из этапов в создании более общей теории.

Г ипотеза де Бройля. Вследствие двойственного характера электромагнитного излучения, особому микрообъекту фотону свойственен квантово-волновой дуализм: в одних опытах он проявляет квантовые (корпускулярные) свойства (фотоэффект, эффект Комптона), а в других - волновые (интерференция, дифракция). В 1924г. де Бройль предположил, что описанный выше дуализм присущ любым микрообъектам, например, электронам. Энергия и импульс фотона определяются формулами

; (33)

. (34)

Гипотеза де Бройля заключалась в том, что любому движущемуся микрообъекту могут быть сопоставлены длина волны и частота, выраженные из формул (33) и (34), т.е.

; . (36)

Например, для электрона, ускоренного в полях обычных электронных

приборов (U~1-10⁴) B, скорость можно определить из формулы ,   (36), 

, (37)

ч то ≈ длине волны рентгеновских лучей. Если размер приборов l~10 см, то <<1, и волновые свойства пучка электронов в таких условиях не проявятся. Поэтому волновые свойства электронов стали искать на периодических структурах порядка межатомных расстояний, т.е. на кристаллических решетках. Так, в опыте Девиссона и Джермера (1927 г.) электроны отражались от поверхности монокристалла никеля (рис. 12) и затем попадали в цилиндр Фарадея (Ф), присоединенный к гальванометру. Большинство рассеянных электронов наблюдалось при угле , указывающем на отражение от атомных плоскостей, расстояние между которыми d было известно. Соответствующая длина волны, вычисленная по формуле (37), оказалась равной 1.67 . А длина волны, определенная из рентгенографических исследований по формуле Вульфа-Брэгга, оказалась равной 1,65 . Совпадение этих значений является прямым доказательством гипотезы де Бройля.

Другим опытом, подтверждающим гипотезу де Бройля, являются опыты по дифракции электронов на поликристаллической структуре металлической фольги (Тартаковский, Томсон). Оказалось, что полученная таким образом дифракционная картина (рис.13), эквивалентна рентгенограмме, полученной при дифракции рентгеновских лучей на той же структуре. Поскольку через металлическую фольгу проходило одновременно большое количество электронов, можно было говорить о волновых

свойствах пучка электронов. Однако в 1949 г. Биберман, Сушкин и Фабрикант провели опыты при последовательном прохождении отдельных электронов через фольгу. При достаточно большой экспозиции была получена весьма похожая дифракционная картина, чем было доказано, что отдельный электрон обладает волновыми свойствами. Таким образом, экспериментально была подтверждена гипотеза де Бройля.

Свойства микрообъектов. Микрообъект может проявлять как квантовые (корпускулярные), так и волновые свойства. Но, строго говоря, микрообъект не является в классическом представлении ни частицей, ни волной. Отличие микрообъекта от волны состоит, например, в том, что он всегда обнаруживается как целое, нельзя наблюдать пол-электрона. Волну же с помощью полупрозрачного зеркала можно разделить на части. Микрообъект отличается и от макрочастицы тем, что к нему в общем случае не применимо понятие траектории. Это поясняет эксперимент, в котором параллельный пучок электронов падает на ширму с двумя щелями (рис. 14). Сначала закроем щель 2. Почернение на фотопластинке Фп представлено кривой 1(а). Закрыв щель 1, получим кривую 2 (а). Если открыть обе щели, то результат почернения (б) - не является наложением кривых 1 и 2, но подобен картине при интерференции волн от двух когерентных источников. Следо­вательно, на движение электрона каким-то образом оказывают влияние обе щели, т.е. нельзя говорить о классической траектории движения электрона. Волны де Бройля отличаются от объективно существующих электромагнитных волн. Например, невозможно заранее указать место на фотопластинке, в которое попадет электрон. Это вносит в рассуждения вероятностный характер. Поэтому волны де Бройля называют волнами вероятности. Интенсивность сопоставляемой микрообъекту волны в некоторой точке оказывается

пропорциональной вероятности найти частицу в окрестности той же точки.

Соотношение неопределенностей. Особые свойства микрообъектов, выражают сформулированные в 1927 г. В.Гейзенбергом соотношения неопределенностей: невозможно одновременное и точное определение координаты и импульса (или скорости) микрообъекта. Это утверждение математически можно записать в виде неравенств:

; ; (38)

где х , y, z - неопределенности в определении координат частицы; p_x, p_y , p_z - неопределенности в определении соответствующих проекций ее импульса.

С оотношение неопределенностей для энергии и времени записывается следующим образом:

(39)

где Е - неопределенность энергии микрообъекта, a t - время существования в состоянии с этой энергией. Например, если атом находится в возбужденном состоянии, то Е - естественная ширина энергетического уровня, соответствующего этому состоянию, а t - время жизни атома в возбужденном состоянии. Неопределенности обусловлены не недостаточной точностью измерительных приборов, а сущностью самих микрообъектов.

Покажем, что произведение неопределенностей имеет порядок постоянной Планка. Пусть микрообъект проходит через щель шириной х (рис. 15),  неопределенность его координаты в момент прохождения щели равна х. Оценим р_х,

допустив, что частица на экране окажется в пределах первого дифракционного максимума (угол  определяет направление на первый минимум,  ). Тогда .  , 

(40)

Подставляя длину волны де Бройля (36) → (40), получим

,

что с точностью до порядка величины в правой части, совпадает с (38). Подставляя в (38) p_x=m_x, получим ,  чем больше m, тем меньше неопределенность координаты и скорости. Поэтому для макрообъектов соотношения неопределенности учитывать не нужно.

Некоторые следствия соотношения неопределенностей

1. К микрообъектам в принципе неприменимо понятие траектории. Это вытекает из того, что х0.

2. Доказательство стабильности атома. Радиус атома водорода ~10^-10м,  для электрона в атоме водорода x=10^-10 м. Если бы электрон упал на ядро, размеры которого 10^-14 м, то для него x=10^-14 м. Учитывая, что = 1,054·10^-34 Дж·с, из (38) получим

кгм/с.

При этом импульс электрона должен иметь, по крайней мере, такой же

порядок, а такому импульсу соответствует энергия электрона, при которой он должен вылететь из атома наружу.

Лекция 5. Волновая функция. Уравнение Шредингера.

Развитием гипотезы де Бройля стало сопоставление движению микрообъекта волновой функции сделанное Шредингером. Свободное движение микрообъекта с определенной энергией и импульсом было предложено описывать волновой функцией, соответствующей плоской волне де Бройля. Эта функция имеет вид

, (41)

где - волновой вектор ( - волновое число, - нормаль к волновому фронту), - радиус-вектор частицы. Поскольку микрообъекту свойственен корпускулярно-волновой дуализм, волновая функция не может иметь прямого физического смысла. Однако М. Борном была дана статистическая интерпретация -функции, согласно которой квадрат ее модуля определяет вероятность (dP) того, что частица будет обнаружена в пределах некоторого объема dV.

(42)

где Ψ* - комплексно сопряженная функция по отношению к Ψ; ибо этот интеграл определяет вероятность того, что микрообъект находится в одной из точек всего объема V, т.е. вероятность достоверного события. Условие, налагаемое на волновую функцию

(43)

есть условие нормировки, а функция, удов­летворяющая этому условию, называется нормированной. Из (42) следует, что

(44)

Следовательно, квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности нахождения микрообъекта в соответ­ствующем месте пространства.

Из смысла волновой функции следуют ее свойства: однозначность, конечность и непрерывность во всей области изменения, а также тот факт, по можно предсказать вероятность обнаружения микрообъекта в окрестности любой точки пространства.

Принцип суперпозции состояний является одним из фундаментальных положений волновой теории. Из классической механики известно, что при суперпозиции волновых функций получается новая волновая функция. Кроме того, существует состояние покоя, в котором волновая функция равна нулю во всех точках пространства. В квантовой механике результат суперпозиции волновых функций будет существенно иным. Если, например, система может находиться в двух состояниях с энергиями Е₁ и Е₂, которые описываются волновыми функциями и соответственно, то в результате суперпозиции этих состояний возможно состояние с волновой функцией

(45)

которая с вероятностью описывает состояние с энергией Е₁ и с вероятностью описывает состояние с энергией Е_2. Набор всех для любой физической величины (например, энергии) есть полная система собственных функций. Волновую функцию любого состояния можно разложить по собственным функциям:

(46)

Уравнение Шредингера. В 1926 г. Шредингер написал основное уравнение для квантово-механического описания материи. Применение это­го уравнения позволяет получить набор стационарных энер­гетических состояний в атомах, объяснить природу химичес­кой связи. Рассмотрим один из возможных путей получения уравнения Шредингера (это не вывод, поскольку уравнение Шредингера является основным постулатом квантовой физики). Параллельному пучку микрообъек­тов, движущихся вдоль оси X, в соответствии с (41) можно сопоставить волновую функцию

. (47)

По де Бройлю свободному движению частиц соответ­ствует плоская волна с частотой

(48)

и длиной волны

. (49)

(48), (49) (47) 

(50)

Найдем первую производную от этой функции по времени и вторую по координате

, 

, (51)

,  , 

. (52)

Подставим (51) и (52) в выражение и получим уравнение Шредингера для свободной частицы, движущейся вдоль оси х:

. (53)

Если направление движения частиц не совпадает с осью х, то вместо (53) нужно написать

,

или . (54)

Это уравнение называется уравнением Шредингера для сво­бодной частицы, т.е. частицы, не находящейся в потенциаль­ном поле. В этом случае можно разделить временную и пространственную части волновой функции, т.е. представить ее в виде произведения

. (55)

Подставляя (55)  (54) получим , и после со-

кращения находим , или

. (56)

Уравнение (56) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний свободной частицы. В общем случае стационарными состояниями называются состояния, для которых Е и | | не зависят от времени. При движении частицы в потенциальном поле

(57)

где Е - полная энергия частицы, Е_к - ее кинетическая энергия, U - ее потенциальная энергия. Для свободной частицы Е=Е_к, следовательно, в общем случае

. (58)

Подставляя Е_к из (58)  (56) вместо Е, получим уравнение Шредингера для стационарных состояний частицы, движущейся в потенциальном поле

. (59)

Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Пусть частица может двигаться только вдоль оси х (рис. 16) и не может выйти за пределы ямы. При этом U = 0, если 0  х  l и U = , если х<0 и х>l. Для одномерного случая из (59) получим

, (60)

и для области внутри ямы

. (61)

Обозначим и подставим в (61):

(62)

Это уравнение формально похоже на уравнение гармоничес­ких колебаний. Поэтому решение уравнения (62) следует искать в виде

(63)

О тметим еще раз, что за пределами ямы частица оказаться не может. Поэтому вероятность обнаружить частицу вне ямы равна 0. Следовательно, из условия непрерывности волновой функции можно утверждать, что и на границах должны выполняться условия

, (64)

. (65)

Рассмотрим совместно (64) и (65).

 ,  ,  ; (66)

,  ,  , где (67)

Взять n = 0 в формуле (67) нельзя, так как при этом волновая функция тождественно равна 0 и частица в яме отсутствует. Из (67) следует, что

,  .

Таким образом, энергия частицы в бесконечно глубо­кой яме квантуется и собственные значения этой энергии зависят от целого числа :

, (68)

Разность энергий двух соседних уровней увеличивается с ростом :

. (69)

Подставляя в (63) , получим собственные волновые функции

. (70)

В еличину а найдем из условия нормировки: . В данном случае

,

где чертой отмечено среднее квадрата синуса,  , 

. (71)

Подставляя (71)→ (70), получим нормированные собственные волновые функции

. (72)

На рис. 17 представлены графики изменения волновой функ­ции и квадрата ее модуля для первых трех значений n. Рассмотрим |ψ|² для п=2.

Наибольшая вероятность обнару­жить частицу имеем при x = l / 4 и

x = 3l / 4, однако при х = l/2 |ψ|² = 0. Значит, в центре ямы и на её краях вероятность найти частицу близка к нулю (при n=2).

Лекция 6. Квантовый гармонический осциллятор. Атом водорода по Шредингеру

В квантовой теории понятие силы теряет смысл, поэтому квантовый гармонический осциллятор определим как поведение микрообъекта массы с потенциальной энергией , такой же, как у классического осциллятора. Заметим, что график зависимости от х – парабола. Введем обозначение , тогда потенциальную энергию можно записать так

. (73)

Запишем одномерное уравнение Шредингера для объекта с таким видом потенциальной энергии, т.е. уравнение Шредингера для квантового гармонического осциллятора

. (74)

М ы не будем приводить решение этого уравнения из-за его сложности, однако отметим, что конечные, однозначные и непрерывные его решения могут иметь место только при собственных значениях энергии, равных

, (75)

Схема энергетических уровней квантового гармонического осциллятора представлена на рис.18. Видно, что уровни отстоят

друг от друга на одинаковую величину. Минимальная энергия  0! То, что минимальная энергия квантового гармонического осциллятора не равна нулю (частица не может лежать на дне ямы) связано с принципом неопределенности. Если бы энергия равнялась нулю, то частица покоилась бы, и ее импульс и координата имели бы определенные значения, что противоречит принципу неопределенности. Детальный расчет показывает, что для квантового осциллятора допустимы лишь переходы между соседними стационарными уровнями энергии, при которых квантовое число v изменяется на единицу

. (76)

Это условие называется правилом отбора для квантового гармонического осциллятора.

Колебания молекул. В атомной физике к осциллятору сводятся задача о колебаниях молекул и многие другие важные задачи. На рис. 19 представлена типичная потенциальная кривая взаимодействия атомов для двухатомной молекулы, где r – расстояние между атомами. Вид кривой U(r) показывает, что атомы могут совершать колебания относительно равновесного расстояния между ядрами атомов и у молекулы должны существовать дискретные уровни энергии. Эти уровни также описываются формулой (75), но теперь , где приведенная масса молекулы . Нижняя часть потенциальной кривой совпадает с параболой (пунктир), поэтому нижние уровни эквидистантны, как у квантового гармонического осциллятора. Поэтому весь колебательный спектр должен состоять из одной линии в соответствии с правилами отбора (76).

На самом деле спектр является колебательно-вращательным. По мере увеличения амплитуды (и интенсивности) колебаний накапливается их отклонение от гармоничности: уровни сгущаются с ростом квантового числа v и в формулу (75) необходимо вводить поправку на ангармоничность. Спектры – незаменимый источник информации для структурных исследований в физике и химии, так как они исключительно чувствительны к особенностям строения молекул и межмолекулярным взаимодействиям.

Атом водорода. Атом водорода состоит из протона и электрона, где масса протона в 1836 раз больше массы электрона. Поэтому в первом приближении можно считать, что электрон движется в поле неподвижного протона. Уравнение Шредингера для электрона в атоме водо­рода имеет вид

(77)

где потенциальная энергия электрона в поле протона равна

. (78)

Так как U = U(r), то и уравнение Шредин­гера нужно записать в сферических координатах. Связь между сферическими и прямоугольны­ми декартовыми координатами известна: .

Решение уравнения Шрединге­ра в этом случае можно искать в виде . Нормальное состояние атома водорода сферически симметрично, значит, волновая функция зависит только от r. В этом случае оператор Лапласа в сферичес­ких координатах записывается просто:

(79)

а само уравнение Шредингера после подстановки (79, 78) (77), выглядит так

(80)

Сферически симметричную волновую функцию будем искать в виде

. (81)

Отметим, что такая функция имеет конечное значение при r=0, а при r , Находим первую и вторую производные (81) по r.

. (82)

Подставим (81,82)(80) 

;

сокращаем и группируем:

Это равенство должно выполняться при любых r, поэтому обе скобки должны в отдельности равняться нулю. Решая систему, найдем величины а и Е:

							(83)
							(84)

Сравнивая (83) и (84) с формулами (26) и (29), видим, что они эквиваленты радиусу первой Боровской орбиты атома водорода и энергии электрона на ней, т.е. можно записать:

(85)

Вероятность нахождения электрона в шаровом слое радиуса r и толщиной dr, равна

,

где 4r²dr – объем шарового слоя радиуса r.

Следовательно, для рассматриваемого основного состояния атома водорода расстояния от электрона до протона распре­делены с плотностью вероятности

При этом если r = 0, то w(r) = 0 и если r, то w(r) 0. Таким образом, существует вероятность обнаружить элек­трон на любом расстоянии от ядра от 0 до . Вычислим r, для которого эта вероятность достигает максиму­ма:

 (86)

Следовательно, наибольшая вероятность соответствует ра­диусу первой боровской орбиты. Однако в данном случае получилась сфера радиуса а₁, а не плоская орбита по Бору. Существенно, что при такой постановке задачи не было получено квантования энергии. Однако при допущении пребывания электрона только в области, ограниченной объемом атома, квантование автоматически получается из уравнения Шредингера (80).

Лекция 7. Пространственное квантование. Принцип Паули. Многоэлектронные атомы.

Квантовые числа. Состояние электрона в атоме водорода характеризу­ется тремя квантовыми числами: п, l, т.

п - главное квантовое число. Оно определяет дискрет­ные значения энергии электрона в атоме. Для атома водорода

(87)

Это квантовое число может принимать следующие значения: n = 1, 2, 3,…

l - орбитальное квантовое число. Оно характеризует орбитальный момент импульса электрона:

(88)

где l = 0,1,2,3,...(n-1). Из (113) следует, что орбитальный момент импуль­са электрона квантуется.

т - магнитное квантовое число - характеризует вели­чину проекции на направление внешнего магнитного поля:

(89)

m имеет следующие значения: m = 0, ±1, ±2, ... ,±l.

Пространственное квантование. При данном значении l проекция орбитально­го момента импульса электрона на направление внешнего магнитного поля может принимать 2l+1 значение. Сам вектор может иметь только определенную ориентацию в пространстве относительно направления внешнего магнитного поля . Этот факт называется пространственным квантованием. На рис. 27

представлены возможные ориентации вектора относительно направле­ния внешнего магнитного поля.

В 1925 г. Гоудсмит и Уленбек предположили, что наряду с орбитальным моментом импульса электрона существует собственный мо­мент импульса электрона - спин и связанный с ним собственный маг­нитный момент. Электрон можно рассматри­вать как частицу, вращающуюся во­круг собственной оси. При таком вращении возникает собственный момент импульса. Можно ввести четвертое квантовое число (спиновое) – т_S, которое характеризует проекцию собственного момента импульса электрона на направление внешнего магнитного поля.

(90)