Различные уравнения плоскости в пространстве
I способ построения уравнения плоскости.
(34)
,
- фиксированная точка на плоскости
.
Пусть M(x;
y;
z)
– текущая точка на плоскости
,
тогда
- способ построения уравнения плоскости
(34) (условие перпендикулярности векторов).
II способ построения уравнения плоскости.
Дано:
,
неколлинеарен
,
точка
.
Пусть
- текущая точка на
-
компланарные вектора.
a)Условие компланарности векторов:
Уравнение
плоскости, проходящей через точку
параллельно векторам
и
:
(36)
б) Из условия
компланарности векторов
и неколлинеарности
и
следует, что векторы
и
линейно независимы, поэтому могут быть
взяты в качестве базиса на плоскости
.
Приложим эти векторы к точке M0.
Любой вектор этой плоскости может быть
разложен по векторам
и
.
Запишем последнее равенство в координатах:
Параметрические уравнения плоскости
(37)
Дано:
не
коллинеарен
.
Сведем задачу к задаче 1):
Запишем смешанное произведение для компланарных векторов
Уравнение плоскости, проходящей через две данные точки, параллельно данному вектору.
(38)
Дано:
Приводим задачу к задаче 1):
Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
(39)
Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве
Две плоскости в пространстве могут:
быть параллельными;
совпадать;
пересекаться.
Условие параллельности двух плоскостей
(40)Условие совпадения двух плоскостей
и если
Из
Пусть
Умножим первое
уравнение на
и
вычтем второе:
Условие совпадения двух плоскостей
(41)
Пересечение двух плоскостей
,
нарушение одного из равенств (40).
Система уравнений описывает множество точек, лежащих в пересечении двух плоскостей.
Двугранный угол между двумя плоскостями.
Двугранный угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами.
(42)
Нормированное уравнение плоскости.
Пусть дана плоскость , не проходящая через начало координат.
P – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость .
Пусть
-
углы, составленные вектором
с осями координат.
,
.
Рассмотрим произвольную точку M(x; y; z) на плоскости .
,
т.к.
(проекция произвольной точки
на
ось, перпендикулярную
,
совпадает с p).
Нормальное или нормированное уравнение плоскости
(43).
Переход от общего уравнения плоскости к нормированному виду
– нормирующий
множитель. Умножим на него обе части
общего уравнения плоскости.
Знак
выбираем противоположным знаку D.
Отклонение точки от плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Отклонением
точки
от плоскости
называется расстояние от этой точки до
плоскости, взятое со знаком “+”, если
точка
и начало координат O
находятся по разные стороны от плоскости,
иначе со знаком “–”. Если точка
и начало координат O
совпадают, то отклонение не определено
или положительно.
Теорема 5
Отклонение точки от плоскости с уравнением (43) находится по формуле:
(44).
◄
Докажем,
что
.
,
т.к.
.
,
когда
направлен в ту часть полупространства,
где нет точки O.
►
Следствие
(45)
(46)
Пучок и связка плоскостей
Определение.
Множество всех плоскостей, пересекающихся по одной и той же прямой называется пучком плоскостей.
Пусть
Теорема 6
Уравнение вида
(47)
является
уравнением некоторой плоскости, пучка
плоскостей с осью L.
Любая плоскость пучка с осью L
описывается уравнением (47) (ось L
лежит в
пересечении плоскостей
и
).
Определение связки плоскостей
Определение.
Связкой плоскостей с центром в точке С называется множество всех плоскостей пространства, содержащих точку С.
Пусть даны три плоскости связки с центром в точке С:
,
причем эти плоскости попарно не совпадают и не пересекаются по одной прямой.
Теорема 7
Любая плоскость связки с центром в точке С описывается уравнением (48).
(48)
Прямая в пространстве
Различные виды уравнений прямой в пространстве
Уравнение прямой, заданной в виде пересечения двух плоскостей.
(49)
Уравнение прямой, проходящей через точку с заданным направляющим вектором
,
,
Пусть
-
текущая точка на L.
Каноническое уравнение прямой
(50)
Параметрические уравнения прямой.
(51)
,
,
.
Сводим эту задачу
к задаче 2. Пусть
,
,
подставим в (50).
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
(52)