Различные уравнения прямой на плоскости

1. Каноническое уравнение прямой

Записать уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно вектору в аффинной системе координат.

Пусть - текущая точка на L.

Условие коллинеарности - пропорциональность соответствующих координат.

(5)

Уравнение прямой (5) - каноническое уравнение прямой, - направляющий вектор прямой с уравнением (5).

Рассмотрим вектор заданный в ПДСК. Приложим к началу координат, α – угол наклона вектора и прямой L к оси в уравнении (5) (изменяется в пределах [0; π]).

Угловой коэффициент вектора :

(6)

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Известно, что через любые две несовпадающие точки можно провести только одну прямую. Записать уравнение этой прямой.

Дано:

Пусть - текущая точка на прямой L.

и

(7)

Замечание: Деление на 0 понимается в смысле пропорции:

2. Параметрическое уравнение прямой

Из канонического уравнения (8)

Параметрическое уравнение прямой

(8) .

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Выразим из уравнения (5):

(9)

Уравнение (9) называется уравнением прямой с данным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку.

Рассмотрим уравнение (9), обозначив :

(10)

- уравнение прямой с угловым коэффициентом k, точка (0; b) – точка пересечения прямой с осью Oy.

- тангенс угла наклона прямой L к оси Ox.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

1. Пусть прямые заданы общими уравнениями в ПДСК:

Прямые и могут быть расположены друг относительно друга следующим образом:

- быть параллельными

- совпадать

- пересекаться

1. Условие параллельности двух прямых

(11)

2. Условие совпадения двух прямых

Пусть

Из (11)

Умножим (*) на :

(*’)

Условие совпадения 2-х прямых

(12)

3. Условие пересечения двух прямых

(13)

Задача 2

Найти точку пересечения прямых.

Система имеет единственное решение.

Задача 3

Найти угол между двумя прямыми.

Угол между двумя прямыми равен углу между их нормальными векторами:

(14)

2. Пусть прямые заданы каноническими уравнениями

1. Прямые параллельны

(15)

2. Прямые совпадают

(16)

3.Прямые пересекаются

(17)

Общая точка находится путем совместного решения системы уравнений для и для

Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами:

(18)

3. Пусть прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами

1. Прямые параллельны

(19)

2. Прямые совпадают

, (20)

3. Прямые пересекаются

(21)

Угол φ между двумя прямыми определяется как угол от первой прямой до второй против часовой стрелки.

(22)

Условие перпендикулярности прямых

1. Прямые заданы общими уравнениями

Условие перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями

(23)

2. Прямые заданы каноническими уравнениями

Условие перпендикулярности прямых, заданных каноническими уравнениями

(24)

3. Прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами

1) не определен, из (22) следует

(25)

2)

Условие перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами

(25)