6.6.3. Приближенный метод исключения элементов

Сущность приближенного метода расчета надежности мостиковых схем методом исключения элементов заключается в том, что в структурной схеме выбираются один или несколько элементов и затем производится расчет показателей надежности для двух крайних случаев:

1) предполагается, что выбранные элементы абсолютно надежны (вероятность безотказной работы элементов равна единице);

2) предполагается, что выбранные элементы абсолютно ненадежны (вероятность безотказной работы элементов равна нулю);

В первом случае две точки системы, к которым подключается элемент, соединяются постоянной связью, во втором – между этими точками отсутствует какая-либо связь. Для двух полученных структур определяются вероятности безотказной работы, соответственно равные и .

Затем определяется средневзвешенное значение вероятностей безотказной работы исключаемых элементов

(6.42)

где p – вероятность безотказной работы I-го исключаемого элемента; n – число исключаемых элементов

Окончательно вероятность безотказной работы системы определяется по формуле

. (6.43)

Очевидно, если р =1 (абсолютно надежные исключаемые элементы), то . Если =0 (абсолютно ненадежные элементы), то .

Особенности метода исключения элементов:

– с увеличением числа исключаемых элементов точность расчетов понижается;

– с увеличением числа элементов в системе при фиксированном числе исключаемых элементов точность расчетов повышается;

– в качестве исключаемых элементов целесообразно выбирать элементы, имеющие высокую надежность.

Пример 6.7.

Определить приближенно вероятность безотказной работы системы представленной на рис. 22, двумя методами: преобразованием треугольника в звезду и исключением элементов.

Вероятности безотказной работы всех элементов одинаковы =0,9.

Рис. 22. Расчетная схема

Решение

Преобразуем треугольник, образуемый элементами 1, 3, 5, в звезду с элементами 6, 7, 8 (см рис. 23). Согласно формулам (6.37) рассчитываем вероятности отказов элементов звезды

Рис. 23. Преобразованная расчетная схема

Используя формулы для последовательно-параллельно соединенных элементов, определяем вероятность безотказной работы системы

Решим этот же пример методом исключения элементов. В качестве исключаемого выберем элемент 5. Рассмотрим две структуры. В первой из них в месте расположения элемента 5 будет короткое замыкание (рис. 24). Поэтому получим

Рис. 24. Схема при «коротком замыкании» вместо элемента «5»

Во второй структуре в месте нахождения элемента 5 будет разрыв цепи (рис. 25).

Поэтому имеем

Рис. 25. Схема с «разрывом» вместо элемента «5»

С учетом на основании (6.43) окончательно получаем

=0,9639+(0,9801-0,9639) 0,9=0,9785.

Сравнение значений вероятностей безотказной работы, полученных рассмотренными приближенными методами, показывает, что они очень близки.

6.7. Расчет надежности систем электроснабжения логико-вероятностным методом

В основе данного метода лежат положения алгебры логики.

Алгебра логики – это раздел математики, занимающийся исчислением высказываний. Под высказыванием Х понимается любое предложение, относительно которого можно утверждать ложно оно или истинно без учета конкретного содержания. Переменная величина, которая устанавливает лишь два значения 1 и 0, называется двоичной. Функция , определяемая набором двоичных аргументов и принимающая лишь два значения 1 или 0 называется функцией алгебры логики .

В алгебре логики рассматриваются три основные логические операции:

а) НЕ – отрицание. Отрицание высказывания Х обозначается и значения истинности определяются соотношениями:

.

б) И – конъюнкция. Конъюнкция (логическое умножение) высказываний Х₁ и Х₂ истинна тогда и только тогда, когда истинны составляющие его высказывания Х₁ и Х₂.

Значения истинности конъюнкции определяется соотношениями:

0∙0=0 , 0∙1=0 ,1∙0=0 , 1∙1=1.

в) ИЛИ – дизъюнкция. Дизъюнкция (логическое сложение) высказываний Х₁ и Х₂ ложно тогда и только тогда, когда ложны составляющие его высказывания Х₁ и Х₂.

Значения истинности дизъюнкции определяются соотношениями :

0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=1.

Основные правила преобразования:

X∙1=X, X+1=1, X+0=X , X∙0=0;

X∙X=X, X+X=X, X∙ =0, X+ =1.

Ассоциативный закон

Х₁∙(Х₂∙Х₃)=(Х₁∙Х₂), ∙Х₃=Х₁∙Х₂∙Х₃,

Х₁+(Х₂+Х₃)=(Х₁+Х₂)+Х₃=Х₁+Х₂+Х₃.

Коммутативный закон

Х₁∙Х₂=Х₂∙Х₁, Х₁+Х₂=Х₂+Х₁

Дистрибутивный закон

Х₁∙(Х₂+Х₃)=Х₁∙Х₂+Х₁∙Х₃, Х₁+(Х₂∙Х₃)=(Х₁+Х₂) ∙ (Х₁+Х₃)

Закон инверсий

,

Операция поглощения

Х₁+Х₁∙Х₂=Х₁, Х₁∙ (Х₁+Х₂)=Х₁.