Задачи к разделу 1

Задача 1.1

Вывести формулу Шлихтера для свободной упаковки частиц ( =90⁰) и для более плотной ( =60⁰).

Задача 1.2

Определить коэффициенты пористости и просветности ячейки Шлихтера, если угол укладки частиц a равен 60⁰, 70⁰, 80⁰, 90⁰. Построить график зависимости данных величин от угла укладки.

Задача 1.3

Определите удельную поверхность песка, пористость которого равна и эффективный диаметр мм, а также найти число частиц в единице объема среды N / V.

Задача 1.4

Вывести формулу (1.9) для удельной поверхности фиктивного грунта.

Задача 1.5

Построить кривую механического анализа и определить эффективный диаметр песчинок по способам Газена и Крюгера-Цункера по следующим гранулометрическим составам:

,мм		0 - 0.05	0.05 - 0.1	0.1 - 0.2	0.2 - 0.3	0.3 - 0.5	0.5 - 1
а)	%	5,3	7,2	40,1	35,7	10,2	1,5
б)	%	6,9	38,6	44,2	6,3	3,3	0,7
в)	%	1,5	5,3	7,2	40,1	35,7	10,2

Задача 1.6

Оценить удельную поверхность образца и число частиц N в образце для свободной упаковки частиц ( = 90⁰), если до измельчения его диаметр d = 2,54 см, а длина L = 3 см. Средний диаметр зерен взять из решений задачи 1.4 методом Крюгера Цункера.

Задача 1.7

Сопоставить число частиц диаметром d, заключенных в 1 м³ фиктивного грунта (N / V), при наиболее свободном расположении частиц ( = 90⁰) и при наиболее плотном их расположении( = 60⁰).

Задача 1.8

Определить удельную поверхность S_уд фиктивного грунта и радиус пор идеального грунта r, если эффективный диаметр частиц d_эф=0,11мм, а угол упаковки  = 75⁰.

Задача 1.9

Определить скорость фильтрации и среднюю скорость движения воды при установившемся потоке через цилиндрический образец диаметром d = 2,54 см, если известно, что расход через образец Q=0,7см³/мин, масса сухого образца М₁ = 116,3 г, масса образца, на 100% насыщенного водой М₂ = 126,49 г, а масса образца, на 100% насыщенного водой во взвешенном состоянии в воде М₃ = 72,03 г. Сжимаемостью образца пренебречь.

Задача 1.10

Определить скорость фильтрации и среднюю скорость движения нефти у стенки гидродинамически совершенной скважины и на расстоянии r = 75 м, если известно, что мощность пласта h = 10 м, коэффициент пористости m = 18%, радиус скважины r_с = 0,1 м, массовый дебит скважины Q_m = 50 т/сут и плотность нефти  =0,85г/см³. Жидкость считать несжимаемой.

2. Закон Дарси и границы его применимости.

Закон Дарси устанавливает, что объемный расход несжимаемой жидкости Q через трубку с пористой средой прямо пропорционален потере напора и площади фильтрации S и обратно пропорционально длине трубки L, рис.3:

(2.1)

где: С - коэффициент фильтрации, характеризующий скорость потока через единицу площади сечения, перпендикулярного к потоку, под действием единичного градиента давления.

H - напор в любом сечении определяется как:

(2.2)

где: z - высота положения, - пьезометрическая высота, p – гидростатическое давление,  - плотность жидкости, g – ускорение свободного падения, - скоростной напор,

В силу малости скорости фильтрации (ее порядок  10^-5 - 10^-6 м/с) скоростным напором в формуле (2.2) можно пренебречь.

Поскольку коэффициент фильтрации С характеризует, как свойства породы, так и свойства воды, то при решении задач о течении других жидкостей и газов в пористой среде удобнее пользоваться понятием проницаемости в законе Дарси:

(2.3)

где: k – абсолютная проницаемость пористой среды, характеризующая способность горной породы пропускать сквозь себя жидкость или газ,  - динамическая вязкость, а - приведенное давление.

S

Рис. 3. Схема опыта Дарси.

При условии равенства высот положения z₁ = z₂ закон Дарси примет вид:

(2.4)

Закон Дарси в дифференциальной форме:

(2.5)

Коэффициенты фильтрации и проницаемости связаны соотношением:

(2.6)

При больших скоростях фильтрации закон Дарси нарушается вследствие того, что силы инерции, возникающие в жидкости, становятся соизмеримыми с силами трения. Скорость фильтрации (или дебит) при которой(м) происходит такое нарушение закона Дарси называется критической скоростью фильтрации v_кр (критическим дебитом Q_кр).

Критерием выполнимости закона Дарси служит число Рейнольдса Re, которое, как и в трубной гидравлике, характеризует отношение сил инерции к силам вязкости:

(2.7)

где a – характерный размер задачи.

В таблице 1 представлены выражения для определения чисел Рейнольдса, выведенных разными авторами, а также диапазоны критических чисел Рейнольдса Re_кр (при которых происходит нарушение линейного закона Дарси).

Таблица 1. Формулы разных авторов для чисел Рейнольдса.

Автор	Число Рейнольдса	Диапазон критических чисел
Н.Н. Павловский		7,5≤ Reкр ≤9
В.Н. Щелкачев		1≤ Reкр ≤12
М.Д. Миллионщиков		0.022≤ Reкр ≤0.29

Если в задаче необходимо определить нарушается ли закон Дарси при заданных параметрах, то полученное в ходе решения число Рейнольдса Re сравнивают с нижним значением Re_кр. Если Re  Re_кр, то закон Дарси выполняется, а если Re ≥ Re_кр, то закон Дарси нарушается. При решении обратной задачи, где нужно определить критическую скорость фильтрации или критический дебит при превышении которых нарушается закон Дарси, выбирают одну из формул, указанных в таблице 1, и определенное значение Re_кр, при котором v=v_кр.

При нарушении закона Дарси при больших скоростях фильтрации используют степенные законы:

Формула Форшгеймера (двучленный закон фильтрации):

(2.8)

в диф. форме. (2.9)

где  - дополнительная константа пористой среды, определяемая из эксперимента.

Одночленный степенной закон:

(2.10)

- в диф. форме. (2.11)

где С и n постоянные определяемые опытным путем, причем 1≤n≤2.

При n = 2 выражение (2.10) и (2.11) носит название формулы А.А.Краснопольского.

Отклонения от линейного закона Дарси наблюдаются и при малых скоростях фильтрации. Это связано с проявлением неньютоновских свойств фильтрующихся жидкостей, а также других физико-химических эффектов (учет сил межфазного и межмолекулярного взаимодействия).

Для вязкопластичных жидкостей (обладающих, как свойствами жидкости, так и свойствами твёрдого тела) часто используют закон фильтрации с предельным градиентом:

, (2.12)

,

В дифференциальной форме:

(2.13)

Из (2.12) следует, что при градиентах меньших предельного  жидкость неподвижна, а при превышении  течет по линейному закону.

Величина  зависит от предельного напряжения сдвига ₀ и среднего диаметра пор:

, где  - безразмерная константа.

Аналогом закона Дарси можно считать закон Пуазейля, если пористую среду представить в виде системы трубок одинакового сечения:

или (2.14)

где N - число трубок одинакового сечения, а r - радиус поровых каналов (или средний радиус пор среды).

Если учесть, что пористость такой среды равна:

, (2.15)

где - число каналов на единицу площади поперечного сечения.

Тогда формулу Пуазейля можно представить в виде:

или (2.16)