Биссектриса

Биссектриса угла - это луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части.

Биссектриса угла (вместе с ее продолжением) есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла (или их продолжений).

Биссектриса угла треугольника - это отрезок биссектрисы этого угла, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

• Любая из трех биссектрисс внутренних углов треугольника называется биссектрисой треугольника.

• Биссектриса угла треугольника может обозначать одно из двух: луч — биссектриса этого угла или отрезок биссектрисы этого угла до ее пересечения со стороной треугольника.

Свойства биссектрис

• Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

• Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.

• Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.

• Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны, то BDAD=BCAC.

• Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трех вневписанных окружностей этого треугольника.

• Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.

• Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой. 

Формулы

a2a1=cb la=c+b cb(b+c+a)(b+c−a)  la=c+b2b c cos2 la=hacos2 − la= b c−a1 a2

Обозначения:

la — биссектриса, проведенная к стороне a, a,b,c — стороны треугольника против вершин A,B,C соответственно, a_l,a ₂ — отрезки, на которые биссектриса l_c делит сторону c,   — внутренние углы треугольника при вершинах a, b, c соответственно, h_a — высота треугольника, опущенная на сторону a.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Медиана

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.

• Три медианы пересекаются в одной точке, которая всегда находится внутри треугольника (центр масс треугольника) и делят треугольник на 6 равновеликих треугольника.

• Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника (одинаковой площади)

 

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Средняя линия

Отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырехугольника, называется средней линией четырехугольника.

Если в выпуклом четырехугольнике прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырехугольника, то диагонали равны.

Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины этой стороны.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме длин оснований.Теорема. Середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________