Сокращение дробей

Дроби можно сокращать. Сократить — значит сделать дробь короче и проще для восприятия. Например, дробь   выглядит намного проще и красивее, чем дробь   .

Если при решении задач и примеров получается большая некрасивая дробь, то нужно пытаться её сократить.

Сокращение дроби опирается на основное свойство дроби. Поэтому, прежде чем изучать сокращение дробей, обязательно изучите основное свойство дроби.

Деление числителя и знаменателя на общий делитель называется сокращением дроби.

Пример 1.  Сократим дробь  . Надо разделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель чисел 2 и 4.

В данном случае, дробь простая и для неё НОД ищется легко. НОД { 2 и 4 } это 2. Значит числитель и знаменатель дроби   надо разделить на двойку. Итак, делим числитель и знаменатель на 2:

Пример 2. Сократим дробь  . Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 20 и 40. НОД { 20 и 40 } это 20. Значит делим числитель и знаменатель дроби на 20:

Пример 3. Сократим дробь  . Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель этой дроби разделить на наибольший общий делитель чисел 32 и 36. НОД { 32 и 36 } это 4. Значит делим числитель и знаменатель дроби на 4:

Если в числителе и знаменателе стоят простые числа, то такую дробь сократить нельзя — она не сокращается. Такие дроби называют несократимыми. Например, следующие дроби являются несократимыми:

Напомним, что простыми называются числа, которые делятся только на единицу и самих себя.

Второй способ сокращения дроби

Второй способ является короткой версией первого способа. Суть данного способа заключается в том, что пропускается подробное разъяснение того, на что был разделён числитель и знаменатель.

К примеру, вернёмся к дроби  . Эту дробь мы сократили на 4, то есть разделили числитель и знаменатель этой дроби на число 4

Теперь представьте, что в данном выражении отсутствует конструкция   , и сразу записан ответ   . Получится следующее выражение:

Суть в том, число на которое разделили числитель и знаменатель хранят в уме. В нашем случае, числитель и знаменатель делят на 4 — это число и будем хранить в уме.

Сначала делим числитель на число 4. Полученный ответ записывают рядом с числителем, предварительно зачеркнув его:

Затем, точно так же делят знаменатель на число 4. Полученный ответ записывают рядом со знаменателем, предварительно зачеркнув его:

Затем собирают новую дробь. В числитель отправляют новое число 8 вместо 32, а в знаменатель отправляют новое число 9 вместо 36

Происходит своего рода замена одной дроби на другую. Значение новой дроби равно значению предыдущей дроби, поскольку срабатывает основное свойство дроби, которое говорит о том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь.

Также дроби можно сокращать, предварительно разложив на множители числитель и знаменатель. Например, сократим дробь   предварительно разложив на множители числитель и знаменатель:

Итак, мы разложили числитель и знаменатель дроби   на множители. Теперь применяем второй способ сокращения. В числителе и в знаменателе выбираем по множителю и делим выбранные множители на НОД этих множителей.

Давайте сократим по тройке в числителе и в знаменателе. Для этого разделим эти тройки на 3 (на их наибольший общий делитель). Получим следующее выражение:

Сократить можно ещё по тройке в числителе и в знаменателе:

Далее сокращать больше нечего. Последнюю тройку в знаменателе просто так сократить нельзя, т.к. в числителе нет множителя, который можно было бы сократить вместе с ней.

Записываем новую дробь, в числителе и в знаменателе которой будут новые множители.

 Получили ответ  . Значит при сокращении дроби   получается новая дробь  .

Не рекомендуется пользоваться вторым способом сокращения дроби и способом разложения на множители числителя и знаменателя, если вы только начинаете изучать математику. Практика показывает, что это оказывается сложным на первых этапах.

Поэтому, если испытываете затруднения при использовании второго способа, то пользуйтесь старым добрым способом сокращения: делите числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель. Выражение в таком случае получается простым, понятным и красивым. Так, предыдущий пример может быть решен старым способом и будет выглядеть так:

Сравните это выражение, с выражением которое мы получили, когда пользовались вторым способом

Первое выражение намного понятнее, аккуратнее и короче. Не правда ли?