Модифікації методу Ейлера (2)

Розглянемо декілька простих модифікацій цього методу. Всі наведені нижче методи є методами другого порядку точності, тобто локальна похибка на кожному кроці має порядок .

Виправлений метод Ейлера

Припустимо, що наближене значення є розв’язком задачі Коші й необхідно обчислити , де . Розкладемо розв’язок за формулою Тейлора p-го порядку, приймаючи за базову точку і покладемо в цьому розкладі . Отримаємо

(2.8)

Якщо обмежитись двома першими елементами в правій частині розкладу (2.8), то отримаємо звичайний метод Ейлера (2.4). Подивимось, що дає врахування третього доданку.

При із (2.8) отримаємо рівняння:

(2.9)

Значення першої похідної в точці , в силу зв’язності (2.1), приблизно відоме:

(2.10)

Диференціюючи рівняння за формулою повної похідної

знаходимо наближене значення другої похідної:

(2.11)

П ідставляючи наближені вирази , та в рівність (2.9), отримуємо формулу для обчислення значення функції у наступній точці при :

(2.12)

Це формула виправленого методу Ейлера.

Оскільки при формули (2.10) і (2.11) є точними, а , згідно початкової умови задачі Коші, то на першому кроці обчислення за формулою (2.12) буде виникати похибка, пов’язана тільки з усіканням ряду Тейлора. Тобто, локальна похибка методу (2.12) складає величину , значить виправлений метод Ейлера належить до методів другого порядку.

Удосконалений метод Ейлера (метод середньої точки)

За цим методом розв’язок задачі Коші обчислюється формулами:

(2.13)

Метод Ейлера-Коші (метод Хойна)

Цей метод є одним з варіантів спільного використання методу Ейлера та неявного методу трапецій. В методі Ейлера-Коші використовують такий порядок обчислень:

(2.14)

Геометрично це означає, що визначається напрямок інтегральної кривої в точках та . В якості остаточного береться середнє значення цих напрямків.

Удосконалений метод Ейлера-Коші з ітераційною обробкою

Можна досягти більшої точності, якщо, виходячи з того ж самого початкового наближення

(2.15)

зробити не одну, а кілька ітерацій за методом трапецій:

(2.16)

Ознакою закінчення ітераційного процесу є умова:

.

Уточнений метод Ейлера

Для отримання наступної модифікації методу Ейлера, проінтегруємо рівняння на відрізку :

,

звідки отримаємо:

(2.17)

З астосовуючи до останнього інтеграла одноточкову квадратурну формулу середніх прямокутників і замінюючи значення і відомими наближеними значеннями та відповідно, із (2.17) отримаємо формулу для обчислення наближеного значення

(2.18)

яку будемо називати уточненим методом Ейлера.

Звернемо увагу на одну принципову відмінність методу (2.18) від всіх інших розглянутих до цього моменту методів: метод (2.18) є двохкроковим. Тут для обчислення значення використовуються два попередніх значення та . Двохкроковість накладає певні обмеження, принаймні, на початок чисельного процесу: значення не може бути знайдене безпосередньо за цим методом. Тому недостатню для процесу (2.18) другу початкову точку треба отримувати іншим методом, наприклад, методом Ейлера. Так, необхідне значення можна знайти за формулами (2.13), а потім продовжувати обрахунки за формулою (2.18).