2. Евклидова «геометрическая алгебра».

При анализе математического творчества Евклида большое значение имеет его авторство «Начал», по которым учились математики всего мира. Содержание книги не исчерпывается элементарной геометрией — это основы всей античной математики. Среди областей математики Евклидом были избраны планиметрия и стереометрия, геометрическая алгебра и решение квадратных уравнений, теория чисел, учение об отношениях чисел и отношениях величин, классификация квадратичных иррациональностей, метод исчерпывания. Вероятно, целью Евклида при написании тринадцати книг «Начал» являлось описание основных элементов, на основе которых могли быть развиты все математические разделы, существовавшие в его время. Сочинение Евклида базируется на целом ряде постулатов, а именно: 1. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую; 2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой; 3. Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг; 4. Все прямые углы равны между собой; 5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых»¹⁰. Если первые три постулата описывают простейшие построения при помощи циркуля и линейки, то 4-й постулат обеспечивает единственность продолжения прямой. Наконец, пятый известный постулат о параллельных прямых обеспечивает существование точки их пересечения. Впоследствии в V в. н.э. он был упрощен Проклом (древнегреческим философом-неоплатоником), а в настоящее время вошел во все современные учебники. Необходимо отметить, что все аксиомы, кроме 4-й, относятся не только к геометрическим, но и к математическим величинам. Таким образом, «геометрическая алгебра» Евклида состоит в следующем: 1) алгебраические переменные понимаются как отрезки; 2) сумма двух или нескольких алгебраических переменных понимается как отрезок, составленный из отрезков-слагаемых; 3) произведение двух переменных a и b понимается как прямоугольник, смежные стороны которого представляют собой отрезки, соответствующие a и b. Произведение трёх переменных a, b и c — это уже прямоугольный параллелепипед, три измерения которого суть отрезки, соответствующие a, b и c¹¹. Евклидово понятие геометрической алгебры неоднократно подвергалось серьёзной критике¹². Несмотря на то, что всю вторую книгу «Начал» можно перевести на язык алгебры, а, значит, констатировать историческое единство математики от эпохи Евклида до настоящего времени, нет никаких оснований полагать, что именно подобный перевод передаёт суть теории евклидовой теории. Усомниться в том, что алгебра является адекватным средством для понимания теории Евклида, позволяет резкий контраст между систематической формой изложения Евклида и беспорядочностью его доказательств алгебраических формул. В частности, вспомогательные предложения 5 и 6 пунктов представляют собой лишь частные случаи решения квадратных уравнений в геометрической алгебре. Однако, по мнению ряда исследователей, именно евклидово пространство геометрической алгебры обеспечивает естественный переход, как с научной, так и с педагогической точки зрения, от векторных к более сложным пространственным моделям¹³.