8.2. Определение потерь при внезапном расширении трубопровода.
При внезапном расширении трубы (рис. 8.2) поток расширяется не сразу. Жидкость выходит из меньшего сечения S1 (обозначено 3 - 4) в виде струи. Эта струя отделена поверхностью раздела от жидкости, находящейся вокруг ее.
Поверхность раздела неустойчива, в кольцевом пространстве между потоком и стенкой трубы образуются вихри. Струя постепенно расширяется и на некотором расстоянии l от начала расширения заполняет все сечение S2 (обозначено 2-2).
В пространстве между струей и стенками жидкость находится в застойной зоне, из-за трения жидкость в этой зоне вовлекается в вихревое движение, затухающее по мере приближения к стенкам. Жидкость из этой зоны вовлекается в центральную струю, а жидкость из струи попадает в вихревую зону. Из-за отрыва потока и вихреобразования при расширении теряется энергия.
Давление, скорость и площадь потока:
в сечении 1 – 1: Р1 , V1, S1 , в сечении 2 – 2: Р2 , V2, S2.
Допущения при выводе формулы для коэффициента сопротивления:
1) Гидростатическое давление распределяется
по рассматриваемым сечениям по закону
гидростатики:
;
2) Распределение скоростей в сечениях соответствует турбулентному режиму движения α1 = α2 =1;
3) Трение жидкости о стенки на участке 1-2 не учитывается из-за небольшой длины участка;
8.3. Внезапное расширение потока
4) Движение жидкости является установившимся, напор истечения постоянен, средние скорости в сечениях S1 и S2 имеют определенное значение и не меняются;
Уравнение Бернулли для сечений 1 - 1 и 2
- 2 с учетом потерь напора на внезапное
расширение
.
Выразим потери на расширение
Используем теорему механики: "изменение количества движения (потока) за единицу времени равно импульсу сил (действующих на поток)".
Выразим приращение количества движения потока через объемный расход и скорость
|
|
|
|
Изменение количества движения потока |
масса*ΔV |
масса*ΔV |
импульс |
=
q – количество движения
потока,
–
приращение количества движения потока
или массы ρQδt, где
Qδt - объем жидкости
"1-1-2-2", Fδt -
проекция на ту же ось импульса внешних
сил, действующих на этот объем.
За время δt объем "3-4-2-2", состоящий из элементарных струек, переместится в положение: 3'-4' -2'-2'. Произойдет изменение количества движения массы жидкости, заключенной в объеме "1-1-2-2".
Жидкость в застойной зоне не участвует в главном движении, поэтому приращение количества движения в объеме "1-1-2-2" за время δt будет равно разности количеств движения в объемах: 3-4-2-2 и 3'-4' -2'-2'. Внутренняя часть объема при вычитании сократится.
Обозначив скорости u1 и u2 в живых сечениях элементарных струек δs1, δs2, можно записать приращение количества движения δq’ массы элементарной струйки
,
в скобках изменение массы струйки в сечениях δs1 и δs2 за время δt.
Перейдя к дифференциалу и проинтегрировав по площади, получим количество движения потока, протекающего через живые сечения S1 и S2 в единицу времени
.
Эти интегралы можно выразить через средние скорости V1 и V2 в этих сечениях
,
Выразив количества движения в сечениях через средние скорости, получим приращение количества движения потока при внезапном расширении за время dt
(8.2)
Внешние силы, действующие на рассматриваемый объем:
- сила тяжести G = ρS2l, где l – длина рассматриваемого объема 1-1-2-2;
- силы давления жидкости на поверхность сечения 1-1 - S1 , имея ввиду, что давление Р1 действует по всей площади 1-1 - S1, так как на кольцевую площадь "1-3 и 4-1" действует реакция стенки трубы, а на поверхность сечения 2-2 - S2 действует давление Р2.
Так как давления в сечениях действуют по гидростатическому закону, для определения сил на плоские стенки надо умножить давления в центре тяжести площадей S1 = S2 на их величину. Для проекции импульса получим
Приращение количества движения будет равно импульсу
(8.3)
Используя значение синуса, и уравнение неразрывности
и, поделив (8.3) на ρgS2, получим
.
(8.4)
Подставляя из (8.4) выражение
в выражение (8.1) для ранее определенных
потерь на расширение
получим
Потеря напора при внезапном расширении равна разности скоростных напоров в сечениях для турбулентного режима движения при α1=α2.
Эту формулу называют формулой Борда в честь французского ученого, который вывел ее в 1766 г. Потери, определенные по этой аналитической зависимости, подтверждаются экспериментально.
