2. Методы решения систем линейных уравнений Метод обратной матрицы и теорема Крамера

Рассмотрим частный случай системы (16.1), когда число уравнений равно числу неизвестных, т.е. т = п. Система уравнений имеет вид

(16.6)

Составим квадратную матрицу А порядка п этой системы:

(16.7)

В матричной форме система уравнений (16.6) имеет вид (16.4):

АХ = В

(16.8)

где матрицы X и В имеют размер nxl. Пусть матрица системы А является невырожденной, т.е. существует обратная матрица А^-1. Умножив обе части этого уравнения слева на А^-1, получаем решение системы (16.6) в матричной форме:

Х = А-1В

(16.9)

Вычисление обратной матрицы по заданной матрице А производится по формулам (15.4) и (15.12). В случае когда порядок п матриц А и А^-1 достаточно велик, вычисление обратной матрицы может быть очень сложным.

Другой метод решения системы уравнений (16.6) основан на теореме Крамера. Составим определитель матрицы системы А:

(16.10)

который называется также определителем системы. Заменим в этом определителе j-й столбец на столбец свободных членов В, т.е. получим этой заменой другой определитель, который обозначим :

(j)
	(16.11)

Теорема 16.2 (теорема Крамера). Пусть — определитель матрицы системы A, a — определитель, полученный из определителя заменой j-го столбца столбцом свободных членов В. Тогда, если , система линейных уравнений (16.6) имеет единственное решение, определяемое по формулам

(16.12)

Доказательство. Запишем в развернутом виде форму матричного решения системы (16.9). Из вида обратной матрицы (15.12), а также из определения умножения матрицы на число следует, что столбец неизвестных X выражается по формуле:

Выполнив умножение матриц в правой части этого равенства, мы имеем равенство двух матриц-столбцов, из которого, приравнивая соответствующие элементы, получаем систему равенств — выражений для неизвестных х_j:

Но по теореме 15.1 (см. параграф 15.1) сумма в скобках правой части этого равенства представляет собой разложение определителя по j-му столбцу, в котором стоят элементы столбца свободных членов, а остальные столбцы этого определителя такие же, как и в определителе системы . Иными словами, эта сумма и есть определитель . Теорема доказана.

Формулы вычисления неизвестных (16.12) — решения системы (16.6) — носят название формул Крамера.

Решение системы общего вида

Пусть задана система линейных уравнений общего вида (16.1), где , т. е. число неизвестных не меньше числа уравнений. Представим общий порядок решения этой системы.

Необходимо определить совместность системы, т.е. определить сначала ранги матрицы системы А и расширенной матрицы А_В. По теореме Кронекера-Капелли, если ранги этих матриц не совпадают, то система несовместна, и тогда нет смысла ее решать. Если же ранги матриц А и А_В равны, то система (16.1) совместна.

Определение. Рангом совместной системы линейных алгебраических уравнений называется ранг ее матрицы.

Пусть система (16.1) совместна и ранг ее равен k. Выделим в матрице системы (16.2) некоторый базисный минор; предположим, что именно первые г строк матриц А и А_В являются базисными. Тогда по теореме о базисном миноре остальные строки матрицы являются линейными комбинациями остальных строк. В свою очередь, это означает, что в системе (16.1) первые r уравнений, соответствующие базисным строкам матрицы А, являются базисными, а остальные — их линейными комбинациями. Тогда эти (m — r) уравнений можно удалить из системы, причем в результате указанных элементарных преобразований мы получаем эквивалентную систему:

(16.13)

Система (16.13) характерна тем, что ее ранг равен числу уравнений в ней, причем , т. е. ранг не превосходит число неизвестных. Поэтому возможны два случая: либо , либо .

В первом случае система (16.13) имеет квадратную невырожденную матрицу порядка r и, согласно теореме Крамера (теорема 16.2), существует единственное решение этой системы. Иными словами, если ранг системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение, т. е. она является определенной.

Рассмотрим теперь случай, когда . Перенесем в правые части уравнений (16.13) все слагаемые, содержащие неизвестные х_r+1, х_r+2, …, x_n. Тогда система принимает вид

(16.14)

Неизвестным х_r+1, х_r+2, …, x_n можно придавать любые значения, и потому они называются свободными. Неизвестные х₁, х₂, …, x_r соответствующие базисным столбцам, называются базисными. Из системы (16.14) легко найти выражения базисных неизвестных через свободные, согласно теореме Крамера, рассматривая правые части этих уравнений как элементы столбца свободных членов, содержащие х_r+1, х_r+2, …, x_n. Можно показать, что базисные неизвестные х₁, х₂, …, x_r линейно выражаются через свободные неизвестные. Поскольку свободные неизвестные могут принимать любые значения, то в случае, когда ранг совместной системы меньше числа неизвестных, эта система является неопределенной: она имеет бесчисленное множество решений.