Предел функции

Пусть на некотором отрезке задана функция f(x). Число A называется пределом функции y = f (x) при xx₀ (при х стремящемся к х₀), если для каждого сколь угодно малого числа  > 0 можно указать зависящее от  положительное число () > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству x₀ - х<  (т.е. лежащих в δ – окрестности точки х₀), имеет место неравенство A – f (x) < . Запись

или . (6.6)

Наличие у функции f(x) предела A в точке х₀ означает, что как только независимая переменная х достаточно близко приблизится к значению х₀, то функция f(x) будет сколь угодно близка к A.

Если при хx₀ функция f(x) стремится к 0, то ее называют бесконечно малой функцией или бесконечно малой величиной (или просто бесконечно малой) в окрестности точки x₀. Бесконечно малые обозначают греческими буквами , , .

Тем самым для бесконечно малой функции для каждого сколь угодно малого числа  > 0 можно указать зависящее от  положительное число () > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству x₀ - х< , имеет место неравенство  α(х)  < . Запись

. (6.7)

Примеры бесконечно малых величин:

(х) = 2x - 6 при х  3,

(х) = e^-x при х  ,

(х) = sin x при х  0 и т.п.

Бесконечно малые величины часто обозначают символом «0».

Для бесконечно малых функций справедливы следующие утверждения:

Сумма бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая

α(х) + β (х) = γ(х).

Произведение бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая

α(х) β (х) = γ(х).

Произведение бесконечно малой на число есть величина бесконечно малая

С α(х) = γ(х).

Функция называется ограниченной на своей области определения D, если существует такое положительное число М, что

 f(x) < М

для всех х D. Произведение бесконечно величины малой на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая.

α(х) f(x) = γ(х).

Функция f(x) называется бесконечно большой функцией или бесконечно большой величиной при х стремящемся к х₀, если для любого сколь угодно большого числа М можно указать зависящее от М число (М) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству x₀ -х< , имеет место неравенство f (x) > М. Запись

.

К бесконечно большим относятся, например:

y = 1/x при х  0,

y = lg (x) при х   и при х  + 0 и др.

Замечание. Бесконечность (обозначаемая знаком ) не является числом.

Для бесконечно больших функций справедливы следующие утверждения:

Сумма бесконечно больших величин, имеющих один знак, есть величина бесконечно большая.

Произведение бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая.

Произведение бесконечно большой на число есть величина бесконечно большая.

Между бесконечно малой и бесконечно большой величинами существует простое соотношение: если α(х) - бесконечно малая величина не равная тождественно нулю в окрестности точки х₀, то f(x) = 1/α(х) - бесконечно большая величина в окрестности точки х₀ и наоборот. Символьная запись этого утверждения

.

Действительно, из определения бесконечно малой следует, что для каждого сколь угодно малого числа  > 0 можно указать зависящее от  положительное число () > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству x₀ - х< , имеет место неравенство  α(х)  < . Тогда для f(x) = 1/α(х) выполняется соотношение

.

А это и означает, что f(x) бесконечно большая величина при xx₀.

Аналогично доказывается, что величина обратная бесконечно большой есть бесконечно малая.

Поэтому, если 2 х - 6 является бесконечно малой величиной в окрестности точки х = 3, то 1/(2х-6) - бесконечно большая в окрестности той же точки. Так как 1/х бесконечно большая в окрестности точки ноль, то х есть бесконечно малая в окрестности той же точки.

Правила вычисления пределов функции.

Теорема. Разность между функцией и ее пределом в точке х₀ есть величина бесконечно малая, т. е., если ,

то f (x) = A +  (х) (6.8)

где  (х) бесконечно малая функция в окрестности точки х₀.

Доказательство. Обозначим за  (х) разность между функцией и ее пределом

 (х) = f (x) – A.

Тогда из определения предела функции следует что, для всех х удовлетворяющих условию x₀ - х< . Сравнив полученные соотношения с определением бесконечно малой функции, мы можем утверждать, что  (х) есть величина бесконечно малая.

Справедливы следующие свойства пределов функций:

1. Если предел функции существует, то он единственен.

2. Предел постоянной величины С равен самой постоянной.

Если при хx₀ существуют конечные пределы функций f(x) и g(x)

то справедливы следующие утверждения

3. . Действительно

где α(х) и β (х) величины бесконечно малые. Так как сумма бесконечно малых есть величина бесконечно малая, т.е. α(х) + β (х) = γ(х), то

.

Отсюда следует, что

4.

5.

6.

7.

8. Если функция неотрицательна в окрестности точки x₀ , то и ее предел при xx₀ тоже величине неотрицательная

.

9. Если f (x) < g (x), то и .

Пример 1. Вычислить .

Решение. Подставляем вместо х под знак предела единицу, вычислим

, а ,

и, по теореме о пределе частного, получаем, что .

Как правило применять теоремы о пределах можно только после предварительного преобразования функций, стоящих под знаком предела. При этом возможны следующие ситуации: , , , , ,. Которые называются неопределенностями.

Приемом раскрытия неопределенности вида является деление числителя и знаменателя на наивысшую степень x.

При неопределенности вида требуется выполнить преобразование функции, выделив в числителе и знаменателе дроби множитель, стремящийся к нулю. Затем сократить дробь на этот общий множитель.

Неопределенности же вида и путем преобразований приводят к одному из рассмотренных случав или . Поясним сказанное на примерах.

Пример 2. Вычислить .

Решение. Наивысшая степень x вторая, делим числитель и знаменатель на . Получим

, так как и .

Пример 3. Вычислить .

Решение. Имеет место неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Получим

.

Первый замечательный предел

. (6.9)

Построим тригонометрический круг с радиусом ОА = 1. Прямая DA – ось тангенсов. Возьмем на окружности точку В. Радиус ОВ = 1. Соединим точки А и В. Угол ВОА равен х, ВС = sin x, DA = tgx (рис. 6.2)

Предположим, что x > 0. Для x < 0 доказательство аналогично. Площадь треугольника ВОА

.

Рис. 6.2. Первый замечательный предел.

Площадь сектора ВОА

.

Площадь треугольника DОА

.

Из чертежа следует, что для площадей выполняется соотношение

т.е.

Сократим общий множитель ½ и разделим на sin (x) (т.к. , то и ). Получим

Или, для обратных величин

Так как , то и . Что и требовалось доказать.

Следствие: (6.10)

Второй замечательный предел, число е.

Число е определяется как следующий предел

, или , где число е = 2,718…., (6.11)

Число е является основанием натуральных логарифмов .

Пример 1. Вычислить .

Решение. Числитель и знаменатель дроби тоже стремятся к нулю. Преобразуем функцию, используя первый замечательный предел. Для этого умножим и поделим в числителе на 2х и учтем, что

.

Пример 2. Вычислить .

Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем дробь, домножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю

.

Пример 3. Вычислить .

Решение. Имеет место неопределенность вида . Преобразуем функцию под знаком предела, домножив и поделив на сопряженное выражение.

.

Таким образом получили предел, в котором имеет место неопределенность вида . Наибольшая степень x первая, поэтому поделим числитель и знаменатель на x, получим

.

Пример 4. Вычислить .

Решение. Так как и , то имеет место неопределенность вида . Вспомним, что есть замечательный предел .

Используем этот замечательный предел, преобразовав исходный предел следующим образом:

.

Имеем

(здесь ),

.

Таким образом,

.

Непрерывность функции. Односторонние пределы.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности, а также

(6.12)

Точки, в которых равенство (6.12) не выполняется, называются точками разрыва функции. Функция непрерывна на промежутке, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

Обозначим за х разность между двумя значениями аргумента х = х₂ –х₁, а за f (x) разность между двумя значениями функции f(x) = f(x₂) - f(x₁). Тогда, если функция непрерывна, то бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т. е. если х 0, то и f (x)  0.

Введем понятие односторонних пределов. Число А называется пределом функции f(x) слева, если хx₀ оставаясь все время меньше х₀ (x < x₀). Запись предела слева

Аналогично вводится понятие предела справа, в этом случае хx₀ оставаясь все время больше х₀ (x > x₀). Запись предела справа

Для непрерывной функции предел слева совпадает с пределом справа и равен значению функции в точке х₀

= = f(x₀).

В точках разрыва цепочка равенств нарушается. Разрыв называется «разрывом первого рода», если все пределы конечны и «разрывом второго рода», если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен.

Если хотя бы один из пределов равен бесконечности в точке х = х₀ , то говорят, что в этой точке есть вертикальная асимптота. Функция, имеющая на конечном промежутке конечное число разрывов первого рода называется кусочно непрерывной.

Все элементарные функции, а также любая их комбинация непрерывны в своей области определения.

Пример 1. Найти точки разрыва функции.

если

Решение. На интервалах , и функция непрерывна. Проверке подлежат только точки и .

Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке.

Рассмотрим точку .

.

Вычислим односторонние пределы

, .

Так как односторонние пределы не совпадают, - точка разрыва функции.

Рассмотрим точку .

,

, ,

- точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Непрерывность функции.

Пример 2. Исследовать поведение функции вблизи точки разрыва. Построить схематический чертеж.

Решение. Область определения функции

Точка разрыва . Найдем односторонние пределы

; .

Знак предела зависит от знаков числителя и знаменателя дроби. В обоих случаях числитель , но знаменатель в пределе слева остается отрицательным, приближаясь к нулю, а в пределе справа, приближаясь к нулю, знаменатель остается положительным. Схематичный чертеж представлен на рис. 6.4.

Рис. 6.4.Точки разрыва.