1.2.2. Переведення чисел з однієї системи в іншу

Для переведення цілого числа з однієї системи числення в іншу необхідно поді­лити перевідне число на нову основу за правилами початкової системи. Одержана перша остача є значенням молодшого розряду в новій системі, а першу частку необ­хідно знову ділити. Цей процес продовжується аж до появи неподільної частки. Ре­зультат записують у порядку, оберненому їхньому одержанню у вигляді формули (1.6,б).

Приклад 1.3

Переведення цілого десяткового числа А = 118 у двійкове.

Початкове число 118/2 59/2 29/2 14/2 7/2 3/2 1/2

Частка 59 29 14 7 3 1 -

Остача 0 1 1 0 1 1 1 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0

Результат: А = 118₁₀ = 1110110₂.

Для переведення правильного дробу з однієї системи числення в іншу необхід­но, діючи за правилами початкової системи, помножити перевідне число на основу нової системи; від результату відокремити цілу частину, а дробову частину, що за­лишилася, знову помножити на цю основу. Процес такого множення повторюється до одержання заданого числа цифр. Результат записують як цілі частини добутку в порядку їхнього одержання, які розташовують у вигляді формули (1.6, в).

Приклад 1.4

Переведення правильного десяткового дробу А = 0,625 у двійкове число з то­чністю до четвертого знака:

0,	625 2	0;
1	250 2	a-1=1
0	500 2	a-2=0
1	000 2	a-3=1
0	000	a-4=0

Результат: А = 0,625₁₀ = 0,1010₂.

Для переведення змішаних чисел у двійкову систему потрібно окремо перево­дити їхні цілу і дробову частини. У записі результату ціла частина переведення відо­кремлюється від дробової відповідно до формули (1.6, а).

Приклад 1.5

Переведення змішаного десяткового числа А = 118,625₁₀ у двійкове. Вико­ристовуючи результати переведення цілого числа 118 у прикладі 1.3 і дробового числа в прикладі 1.4, запишемо результат:

A = 118,625₁₀=1110110,1010₂.

У вісімкових і шістнадцяткових числах основа системи числення кратна степеню двійки: 2³ = 8; 2⁴ = 16. Тому переведення цих чисел у двійкові реалізується дуже про­сто: кожну цифру записують трьома двійковими цифрами (тріадами) для вісімкових чисел і чотирма двійковими цифрами (тетрадами) для шістнадцяткового числа в на­прямках вліво і вправо від коми. При цьому крайні незначущі нулі опускаються.

Приклад 1.6

А = 305,42, =011000101,100010₂'

Ілюстрація переведення вісімкових і шістнадцяткових чисел у двійкові:

Для переведення двійкового числа у вісімкове початкове число розбивають на тріади вліво від коми; відсутні крайні цифри доповнюють нулями. Потім кожну тріаду записують вісімковою цифрою. Аналогічно здійснюють переведення двійкового чис­ла в шістнадцяткове, при цьому виділяють тетради, які замінюються шістнадцятковими цифрами.

Приклад 1.7

Ілюстрація переведення двійкових чисел у вісімкові та шістнадцяткові: і

Вкажемо на правила, які полегшують розрахунки з двійковими числами. 1. Необхідно знати представлення десяткових чисел від нуля до 15 у системах числення з основою q = 2, 8, 16 та 2-10 (табл. 1.2).

Таблиця 1.2

q = 10	q=2	q=8	q = 16	q = 2-10
0	0	0	0	0000
1	1	1	1	0001
2	10	2	2	0010
3	11	3	3	0011
4	100	4	4	0100
5	101	5	5	0101
6 7	110 111	6 7	6 7	0110 0111
8	1000	10	8	1000
9	1001	11	9	1001
10	1010	12	А	0001 0000
11	1011	13	В	0001 0001
12	1100	14	С	0001 0010
ІЗ	1101	15	D	0001 ОО11
14	1110	16	E	0001 0101
15	1111	17	F	0001 0101

2. Необхідно знати десяткові значення чисел 2^к від к = 0 до к = 10 (табл. 1. 3).

Таблиця 1.3

к	0	І	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2к	І	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

3. Корисно знати такі співвідношення для двійкових цілих і дробових чисел:

Двійкові дробові числа в десятковому виді записуються так: к розрядів справа від коми визначають ціле додатне число в чисельнику, а в знаменнику — число 2^к. Наприклад, А = 0,1011₂ = (11/2⁴)₁₀ = (11/16)₁₀, що читається як одинадцять шістна­дцятих.