4.2. Метод Эйлера решения задачи Коши для оду 1-го порядка.

В общем случае задача Коши решения в аналитическом виде не имеет, поэтому ее решают численными методами, простейшим из которых является метод Эйлера.

Для этого зададимся на оси 0x достаточно малыми шагами . Будем рассматривать решение в точках с координатами (рис. 4.2):

, , . (4.3)

Введем обозначения:

; (4.4)

Из начального условия нам известно значение функции в точке : . Для определения значения в точке запишем следующее равенство:

(4.5)

Для проверки подставляем значение интеграла .

Рис. 4.2. Схема разбиения.

Далее, воспользуемся уравнением (4.1) и заменим под знаком интеграла на :

(4.6)

Поскольку значение подынтегральной функции на интервале нам известно только в точке , воспользуемся численным интегрированием по формуле левых прямоугольников:

(4.7)

Таким образом, приближенное значение можно получить по формуле

Аналогично можно получить приближенные значения:

и т.д.

Пользуясь таким алгоритмом, последовательно получим решение для любого количества точек разбиения. Вышеизложенный подход для решения задачи Коши называется методом Эйлера. Общий вид метода Эйлера:

– задано

(4.8)

Заметим, что в сложных практических случаях для решения применяются различные модифицированные алгоритмы, связанные с уточнением шага разбиения на каждом шаге пересчета. Среди такого рода модификаций наиболее употребляемыми являются методы типа Рунге-Кутта, излагаемые в соответствующей специализированной литературе. Приведем простейший вариант уточнения метода Эйлера.

Пусть значение , вычисленное по формуле (4.8) будет неокончательным (промежуточным). Обозначим его , т.е.

(4.9)

Тогда для определения значения интеграла

нам на интервале интегрирования известны значения подынтегральной функции в двух точках: и . Поэтому можно воспользоваться формулой трапеции, которая на порядок точнее формулы левых прямоугольников:

(4.10)

Таким образом, общий вид уточненного алгоритма метода Эйлера имеет вид

(4.11)

4.3. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (оду) n-го порядка

Математическая формулировка задачи

(4.12)

– начальные условия (4.13)

4.4. Сведение задачи Коши для оду n-го порядка к задаче Коши для системы n оду 1-го порядка

Введем (n-1) дополнительные неизвестные функции по правилу:

, , …, (4.14)

Тогда вместо уравнения (4.12) получим систему ОДУ 1-го порядка:

, (4.15)

Соответственно, начальные условия приводятся к виду

– начальные условия (4.16)