Связь между напряжениями и деформациями. Закон Гука.
Как уже упоминалось ранее, между напряжениями и деформа
ц
иями
существует связь, которая может быть
установлена лишь экспериментальным
путем.
Большинство твердых тел, при сравнительно небольших нагрузках, обнаруживают свойство однозначной зависимости между напряжениями и деформациями (или между силами и перемещениями).
Например, если
вспомнить известные нам из курса
лабораторных работ диаграммы растяжения
и сжатия малоуглеродистой стали, то
можно заметить, что вплоть до значений
напряжения равного
-
предела пропорциональности зависимость
между напряжениями и деформациями
близка к линейной.
Подобная картина наблюдается и у других сталей, а также, может быть менее отчетливо, у других материалов. Данный экспериментальный факт позволяет принять простейший из упругих законов – закон Гука, т.е. закон линейной упругости:
Напряжения
пропорциональны деформациям
Коэффициент
пропорциональности между напряжениями
и деформациями
называется модулем упругости первого
рода (модулем Юнга). Модуль упругости
определяется опытным путем и служит
мерой жесткости материала. Геометрический
смысл
- угловой коэффициент прямолинейного
начального участка диаграммы материала.
Модуль упругости для некоторых, часто применяемых материалов, имеет приблизительно следующие значения.
Сталь:
;
Медь:
;
Дерево:
;
Каучук:
Отметим еще раз, что свойство упругости, в частности линей-
ной упругости, относительно. Уместно говорить не о упругих и неупругих материалах, а о упругом и неупругом состоянии материала.
Если в (3) выразить
по формуле (2) и учесть (1), то получим
закон Гука в форме, позволяющей находить
удлинения.
Величину
называют жесткостью при растяжении-сжатии.
Закон (4) можно сформулировать следующим
образом: удлинение стержня прямо
пропорционально нормальной силе и длине
стержня и обратно пропорционально
жесткости при растяжении-сжатии.
По формуле (4) можно определять удлинения только в том
случае, если нормальная сила и поперечное сечение постоянны по
длине стержня, т.е. если напряженное состояние однородно.
Если нормальная сила и поперечное сечение меняются по длине ступенчато, то стержень надо разбить на участки, так чтобы в пределах каждого участка и были постоянны, определить удлинение каждого из участков и тогда полное удлинение стержня будет равняться алгебраической сумме, (знак определяется знаком ) удлинений участков.
Е
сли
же напряженное состояние в стержне
неоднородно, то выделив малый элемент
длиной
определим
его удлинение
,
Здесь
и
рассматривается как функции z.
Полное удлинение стержня будет равно:
.Напряженное состояние при растяжении и сжатии.
В
о
вводной лекции мы уже упоминали о
напряженном состоянии в точке и в
частности, говорили, что знать напряженное
состояние в точке – это уметь вычислить
напряжения по любой площадке, проходящей
через данную точку. Теперь уже мы
рассмотрим этот вопрос в случае, когда
исследуемая точка принадлежит растянутому
или сжатому стержню.
Пусть стержень
растянут силой F и в
поперечных сечениях стержня, как мы
знаем, возникают нормальные напряжения
равные
,
где А - площадь поперечного сечения.
Проведем через
исследуемую точку А произвольное
сечение, положение которого задается
углом
между осью стержня и внешней нормалью
к сечению. Кроме того, проведем еще
поперечное сечение. Выделим с помощью
указанных сечений элемент и рассмотрим
равновесие данного элемента.
По наклонной
площадке действует полное напряжение
.
проектируя силы, действующие на элемент
на ось стержня, получаем
Разлагая
на нормальное
и касательное напряжение, получаем
Переходя к функциям
угла
имеем
Уравнения (5) дают
возможность вычислить напряжения по
любым площадкам, проходящим через данную
точку, т.е. определяют напряженное
состояние при растяжении и сжатии.
Очевидно, что касательные напряжения
обращаются в нуль по двум площадкам
(поперечное сечение) и
(продольное сечение). Площадки, по которым
касательные напряжения равны нулю,
называются главными площадками, а
нормальные напряжения, действующие по
ним, главными напряжениями.
Очевидно, что одно
из главных напряжений, действующее в
поперечном сечении -
является максимальным по модулю, что
обосновывает использование формулы
(1), как основной расчетной формулы при
растяжении, сжатии, а другое главное
напряжение, действующее в продольных
площадках рано нулю. Таким образом,
продольные площадки свободны от
напряжений.
Из второго уравнения
(5) видно, что максимальные касательные
напряжения возникают по площадкам,
наклоненным к оси на угол
,
и равняются по величине
Максимальные касательные напряжения являются причиной разру-
шения образцов из хрупких материалов, испытываемых на сжатие.