1. Объект изучения

Объектом изучения в ИДЗ по курсу «Численные методы в задачах механики» являются задачи, типичные для профессиональной деятельности, а также наиболее эффективные методы их решения. Для решения предлагаются задачи, представляющие основные разделы вычислительной математики. Эти задачи максимально просты, что позволяет решать их без математических сложностей и громоздких вычислений, сосредоточив основное внимание на принципиальных вопросах.

2. Цель выполнения индивидуального домашнего задания

Данное ИДЗ проводится с целью закрепления знаний, выработки умений и навыков применения численных методов решения задач механики. Выполнение настоящего ИДЗ – необходимый этап профессиональной подготовки специалиста.

3. Порядок выполнения

Задания ИДЗ выполняют в той очередности, в которой они включены в данное издание. Конкретные сроки выполнения назначает преподаватель.

Перед тем как приступить к работе над очередным заданием, необходимо изучить соответствующие разделы теории.

Решение каждой из задач ИДЗ обычно начинают на практическом занятии, где находят ответы на принципиальные вопросы и проводят часть вычислений. Дома студент выполняет оставшуюся вычислительную и оформительскую работу. Вычисления можно производить как на калькуляторе, так и на компьютере, с использованием удобной для исполнителя системы программирования.

ИДЗ оформляют на скрепленных листах и сдают на проверку преподавателю не позднее двух недель с момента получения задания. Правила оформления и сроки сдачи ИДЗ студентов заочной формы обучения определяются общими требованиями деканата. Работа оценивается по следующим основным параметрам: полнота и правильность выполнения задания; своевременность сдачи; аккуратность оформления.

4. Аппроксимация, интерполяция функций

Задача 1.Интерполировать таблично заданную функцию интерполяционным многочленом Ньютона для n = 3. Вычислить приближенное значение функции в контрольной точке . Оценить погрешность интерполяции двумя способами: 1) по последнему слагаемому многочлена; 2) в контрольной точке. Исходные данные приведены в приложении 1.

Указания к решению

• вычисляются разделенные разности для соседних узлов - первые, вторые и третья;

• числовые данные заносятся в таблицу вида

i	xi	y(xi)	y(xi,xi+1)	y(xi,xi+1,xi+2)	y(xi,xi+1,xi+2,xi+3)	y(xc)	Delta
0 1 2 3	x0 x1 x2 x3	y0 y1 y2 y3	y(x0,x1) y(x1,x2) y(x2,x3)	y(x0,x1,x2) y(x1,x2,x3)	y(x0,x1,x2,x3)	y(xc)	y(xc)-yc

• записывается интерполяционная формула Ньютона в точке в численной форме в виде суммы числового ряда;

• оценивается практическая сходимость этого ряда;

• оценивается погрешность интерполяции по абсолютной величине последнего слагаемого интерполяционного многочлена;

• вычисляется значение интерполяционной формулы в контрольной точке;

• оценивается погрешность интерполяции в контрольной точке как разность .

Задача 2.Записать интерполяционный полином Лагранжа для функции из задачи 1.

Задача 3.Интерполировать кубическим сплайном таблично заданную функцию из задачи 1. Вычислить приближенное значение функции в контрольной точке . Оценить погрешность интерполяции в контрольной точке.

Указания к решению

• в таблицу вида

i	xi	y(xi)	hi	ci	di	bi	ai	y(xc)	Delta
0	x0	y0						y(xc)	y(xc)-yc
1	x1	y1	h1	0	d1	b1	a1
2	x2	y2	h2	c2	d2	b2	a2
3	x3	y3	h3	c3	d3	b3	a3

заносятся исходные данные для функции , а также вычисленные длины шагов сетки h_i, коэффициенты a_i, c₁ и c₄ сплайна;

• записывается и решается система алгебраических уравнения для коэффициентов c₁ и c₂, значения которых записываются в таблицу;

• вычисляются и заносятся в таблицу коэффициенты d_i и b_i сплайна;

• вычисляется значение интерполяционного сплайна в контрольной точке;

• оценивается погрешность интерполяции в контрольной точке как разность .

Задача 4.Аппроксимировать таблично заданную функцию из задачи 1 методом наименьших квадратов для n = 4. Изобразить графически таблично заданную функцию и ее аппроксимацию. Оценить среднее квадратичное уклонение и максимальное уклонение.

Указания к решению

• выбираются аппроксимирующими базисными функциями степенные функции ;

• задается аппроксимирующая функция с одной (N=1) базисной функцией: ;

• вычисляются коэффициенты алгебраического уравнения и вычисляется коэффициент аппроксимации a₁; здесь и далее весовая функция принимается единичной;

• изображается графически функция (точками) и аппроксимирующая функция (линией) на одном графике;

• вычисляется среднее квадратичное уклонение аппроксимации и ее максимальное уклонение ; на этом аппроксимация с одной базисной функцией завершена;

• задается аппроксимирующая функция с двумя (N=2) базисными функциями: ;

• вычисляются коэффициенты системы двух алгебраических уравнений , (m=1,2) и, решив ее, вычислить коэффициенты аппроксимации a_n;

• на прежнем графике изображается аппроксимирующая функция ;

• вычисляется среднее квадратичное уклонение аппроксимации и ее максимальное уклонение ; на этом аппроксимация с двумя базисными функциями завершена;

• сравниваются погрешности аппроксимации с одной и с двумя базисными функциями, делаются выводы.