2. Методические положения
Для сравнения двух выборочных средних надо решить: относятся ли они к одной или к разным генеральным совокупностям. Одним словом надо убедиться, не перекрываются ли доверительные интервалы средних выборок между собой.
Вспомним, что для вычисления ошибки средней и, соответственно, среднеквадратического отклонения, прежде надо вычислить дисперсию по следующей формуле:
Ошибка средней арифметической выборки определяется по формуле:
Из формулы следует, что можно обойтись в данном случае без среднеквадратического отклонения, используя дисперсию.
Когда же сравниваются средние двух выборок их ошибки суммируются и речь уже идет об ошибке разности:
Доказательство существования достоверной разности между выборочными средними проводится по критерию Стьюдента по правилу: если фактическое значение критерия t больше теоретического нулевая гипотеза Н0 отвергается. Значит, эти выборки относятся к разным генеральным совокупностям. Фактическое значение критерия Стьюдента вычисляется по формуле:
tф = d/sd ,
где
- разность средних.
Теоретическое значение критерия Стьюдента t05 находим из таблицы согласно степени свободы, которая, как известно, равняется объему выборки, уменьшенную на единицу. При сравнении двух совокупностей их степени свободы суммируются:
V=V1+V2=(n1-1)+(n2-1)=n1+n2-2.
При одинаковых объемах наблюдений двух совокупностей (n1=n2=n) формула определения степени свободы принимает вид: V=2n-2.
Индексы при критериях t означают фактическое или теоретическое значение в данном случае для 5 %-го уровня значимости ошибки.
Оценка существенности разности двух выборочных средних может осуществляться по так называемой наименьшей существенной разности (НСР). В формуле t = d/sd разность средних d примем за предельную разность средних, выше которой она не существенна. Тогда НСР для 95 % уровня вероятности (5 %-ного уровня значимости) будет равна:
НСР05 = t 05 sd
В этом случае критерий Стьюдента уже не фактический, а теоретический, который находим из таблицы для 5% уровня значимости. Решение о существенности разности по НСР принимается по тому, как соотносится этот критерий с разностью между средними. Если средние двух выборок больше, чем НСР, то нулевая гипотеза о принадлежности выборочных совокупностей к одной генеральной совокупности отвергается и делается заключение о том, что между средними величинами выборок существует статистически достоверная разность.
3 Задания для практической работы
Задание № 1
Имеются данные по количеству колосков в колосе двух сортов яровой пшеницы (таблица 1). Объем выборок одинаковый 15 колосьев. Необходимо проверить - существует ли достоверная разность между выборками по признаку количества колосков в колосе. Для проверки нулевой гипотезы использовать критерий Стьюдента.
Таблица 1 Количество колосков в колосе двух сортов яровой пшеницы, шт.
1 сорт |
8 |
11 |
13 |
9 |
10 |
9 |
10 |
7 |
11 |
12 |
8 |
9 |
13 |
14 |
7 |
2 сорт |
8 |
11 |
13 |
14 |
12 |
13 |
9 |
12 |
9 |
13 |
10 |
11 |
9 |
15 |
9 |
Задание № 2
Провести проверку нулевой гипотезы о том, что две совокупности признаков таблицы 1 относятся к одной генеральной совокупности, используя метод наименьшей существенной разности (НСР05).
Задание № 3
В трех различающихся по рельефу местах (ложбина, склон и возвышенность) посева яровой пшеницы отобраны выборки по 25 растений в каждой. Необходимо убедиться, можно ли считать, что выбранные места обитания вносят существенные коррективы в продуктивность растений. В пробных снопах учитывалась масса зерна одного растения (таблица 2). Проверку нулевой гипотезы проводить по критерию Стьюдента. Необходимо при этом делать сравнения попарно: 1-2, 1-3,2-3.
Задание № 4
Проведите проверку нулевой гипотезы об отсутствии существенной разности между тремя совокупностями таблицы 3 применяя НСР05.
Таблица 2 Масса зерен на одно растение на разных элементах рельефа пшеничного поля, г
1 |
2 |
3 |
Ложбина |
Склон |
Возвышенность |
0,89 |
0,95 |
0,97 |
1,01 |
1,02 |
1,00 |
0,95 |
0,91 |
0,75 |
1,05 |
0,87 |
0,77 |
1,10 |
1,01 |
0,91 |
0,84 |
0,83 |
0,90 |
1,03 |
0,81 |
0,89 |
1,06 |
0,88 |
0,79 |
1,09 |
0,90 |
0,78 |
1,00 |
1,02 |
0,83 |
0,88 |
1,10 |
0,88 |
0,99 |
1,05 |
0,96 |
0,89 |
0,89 |
0,83 |
1,02 |
0,91 |
0,74 |
1,02 |
0,81 |
0,85 |
1,11 |
0,80 |
0,98 |
0,94 |
0,87 |
1,02 |
1,12 |
0,86 |
0,75 |
0,98 |
0,84 |
0,94 |
0,95 |
1,07 |
0,79 |
1,14 |
0,85 |
0,94 |
0,99 |
0,92 |
0,92 |
1,05 |
0,98 |
0,97 |
1,04 |
1,01 |
1,00 |
0,93 |
0,93 |
0,93 |