Задания муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике в 2011-2012 учебном году

8 класс

1. Доказать, что при любом натуральном n число

является квадратом рационального числа.

2. Можно ли выписать друг за другом четырнадцать трехзначных чисел так, чтобы каждое число было меньше следующего за ним, но его сумма цифр была бы больше, чем у следующего за ним?

3. На праздник пришло несколько детей, некоторые из них с мамами, всего 30 человек. Оказалось, что детей, пришедших без мам, на десять меньше, чем остальных детей. Сколько мам пришло на праздник? Приведите все варианты и объясните, почему нет других.

4. Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Пусть H точка пересечения высот остроугольного треугольника ADC. Оказалось, что DH=BO и CAB=CDB. Доказать, что H – середина отрезка DO.

5. Деревня рыцарей и лжецов на карте имеет вид клетчатого квадрата 9×9, в каждой клетке живет один человек – рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут. Соседними считаются клетки, примыкающие друг к другу по стороне или углу. Каждый житель сказал: Среди моих соседей нечётное число лжецов. Чётно или нечётно количество лжецов в деревне?

8 Класс

1. Доказать, что при любом натуральном n число

является квадратом рационального числа.

2. Можно ли выписать друг за другом четырнадцать трехзначных чисел так, чтобы каждое число было меньше следующего за ним, но его сумма цифр была бы больше, чем у следующего за ним?

3. На праздник пришло несколько детей, некоторые из них с мамами, всего 30 человек. Оказалось, что детей, пришедших без мам, на десять меньше, чем остальных детей. Сколько мам пришло на праздник? Приведите все варианты и объясните, почему нет других.

4. Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Пусть H точка пересечения высот остроугольного треугольника ADC. Оказалось, что DH=BO и CAB=CDB. Доказать, что H – середина отрезка DO.

5. Деревня рыцарей и лжецов на карте имеет вид клетчатого квадрата 9×9, в каждой клетке живет один человек – рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут. Соседними считаются клетки, примыкающие друг к другу по стороне или углу. Каждый житель сказал: Среди моих соседей нечётное число лжецов. Чётно или нечётно количество лжецов в деревне?

8 Класс

1. Доказать, что при любом натуральном n число

является квадратом рационального числа.

2. Можно ли выписать друг за другом четырнадцать трехзначных чисел так, чтобы каждое число было меньше следующего за ним, но его сумма цифр была бы больше, чем у следующего за ним?

3. На праздник пришло несколько детей, некоторые из них с мамами, всего 30 человек. Оказалось, что детей, пришедших без мам, на десять меньше, чем остальных детей. Сколько мам пришло на праздник? Приведите все варианты и объясните, почему нет других.

4. Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Пусть H точка пересечения высот остроугольного треугольника ADC. Оказалось, что DH=BO и CAB=CDB. Доказать, что H – середина отрезка DO.

5. Деревня рыцарей и лжецов на карте имеет вид клетчатого квадрата 9×9, в каждой клетке живет один человек – рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут. Соседними считаются клетки, примыкающие друг к другу по стороне или углу. Каждый житель сказал: Среди моих соседей нечётное число лжецов. Чётно или нечётно количество лжецов в деревне?