Вопрос 1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Геометрическая задача (задача о площади криволинейной трапеции)

Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная и неотрицательная функция y = f(x).

О.1.1.Фигура на плоскости Оху,ограниченная графиком функции y = f(x), прямыми x = a, x = b и осью Ох, называется криволинейной трапецией.

Найдем площадь S данной криволинейной трапеции.

Для этого разобьем отрезок [a;b] точками a = x₀ < x₁ < … < x_n‒1 < x_n = b на n частичных отрезков [x_i‒1;x_i] с длинами Δx_i = x_i ‒ x_i‒1, где i = 1,2,…,n. В каждом частичном отрезке [x_i‒1;x_i] выберем произвольную точку c_i и вычислим значение функции в ней, т.е f(c_i). Тогда произведение f(c_i)Δx_i представляет собой площадь прямоугольника с основанием Δx_i и высотой f(c_i) (i = 1,2,…,n).

Сумма всех таких произведений

равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции при условии, что частичные отрезки разбиения достаточно малы, т.е.

(1)

Сумма (1) будет тем точнее выражать искомую площадь, чем меньше длина Δx_i.

Пусть - длина наибольшего частичного отрезка разбиения. Тогда точное значение площади S криволинейной трапеции равно пределу суммы (1) при 0, т.е.

.

Физическая задача (задача о пройденном пути)

Пусть ʋ = ʋ (t) - скорость движения материальной точки в зависимости от времени t. Необходимо найти путь S, пройденный точкой за промежуток времени [;].

Разобьем отрезок [;]моментами времени (точками)  = t₀ < t₁ < … < t_n‒1 < t_n =  на n частичных отрезков времени [t_i‒1;t_i] с длинами Δt_i = t_i ‒ t_i‒1, где i = 1,2,…,n. В каждом частичном отрезке [t_i‒1;t_i] выберем произвольную точку _i и найдем ʋ(_i).

Будем считать, что на отрезке Δt_i скорость точки постоянна, т.е. ʋ  ʋ(_i). Тогда на участке Δt_i приближенно можно считать, что точка движется прямолинейно и равномерно. Следовательно, за время Δt_i точка пройдет путь S_i  ʋ(_i) Δt_i, а за весь промежуток времени точка пройдет путь

(2)

Сумма (2) будет тем точнее выражать искомый путь, чем меньше длина Δt_i.

Пусть Тогда точное значение пути S равно пределу суммы (2) при 0, т.е.

.

Вопрос 2. Понятие определенного интеграла как предела интегральной суммы

Решение рассмотренных выше задач сводилось к отысканию предела суммы специального вида при неограниченном возрастании числа отрезков деления и стягивания каждого из них в точку.

Изучим этот процесс независимо от конкретного содержания той или иной задачи.

Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a;b], где a < b. Выполним следующие действия.

1. Разобьем отрезок [a;b] точками a = x₀ < x₁ < … < x_n‒1 < x_n = b на n частичных отрезков [x_i‒1;x_i] с длинами Δx_i = x_i ‒ x_i‒1, где i = 1,2,…,n.

2. В каждом частичном отрезке [x_i‒1;x_i] выберем произвольную точку c_i и вычислим значение функции в ней f(c_i).

3. Найдем произведения f(c_i)Δx_i, i = 1,2,…,n.

4. Составим сумму S_n всех таких произведений:

. (3)

Сумма вида (3) называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [a;b], соответствующей данному разбиению отрезка [a;b] на частичные отрезки [x_i‒1;x_i] и данному выбору промежуточных точек c_i в них.

Пусть - длина наибольшего частичного отрезка разбиения.

5. Найдем предел интегральной суммы (3) при 0 (т.е. при n  ).

О.2.1. Если существует конечный предел I интегральной суммы (3) при 0, который не зависит от способа разбиения отрезка [a;b] на частичные отрезки [x_i‒1;x_i] и от выбора в них точек c_i, то этот предел называется определенным интегралом от функции y = f(x) на отрезке [a;b] и обозначается

По определению

. (4)

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, функция f(x) - подынтегральной функцией, f(x)dx - подынтегральным выражением, x - переменной интегрирования, отрезок [a;b] - областью (отрезком) интегрирования.

О.2.2.Функция y = f(x), для которой на отрезке [a;b] существует определенный интеграл называется интегрируемой на этом отрезке.

Данное аналитическое определение определенного интеграла впервые было сформулировано для непрерывных функций в 1823 г. Коши. Позднее Риман показал, что определение, данное Коши, применимо к более широкому классу функций. Это позволило ему впервые высказать в общей форме определение интеграла и установить условия его существования. Поэтому интеграл (4) называют интегралом Римана. Обозначение интеграла было введено Фурье.

Замечание

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы – существенно различные понятия: f(x)dx - совокупность функций, а - определенное число.