Примеры решения задач

Пример 1. Пусть энергия частицы в поле другой частицы зависит от расстояния между центрами этих частиц следующим образом:

U(r) = - , (1.10)

где a и b - постоянные. Показать, что:

1. Эти две частицы образуют стабильное соединение при r = r₀ = (8b/a)^1/7;

2. В случае образования стабильной конфигурации энергия притяжения в 8 раз больше энергии отталкивания;

3. Полная потенциальная энергия двух частиц при стабильной конфигурации

U_ст.= - = - ; (1.11)

4. Если удалять частицы друг относительно друга, то молекула разорвется, как только будет достигнуто расстояние R,

где R = . (1.12)

Решение

1. В состоянии равновесия

; (1.13) или , (1.14)

откуда r₀ = . (1.15)

2. Энергия притяжения

U_пр.= - ; (1.16)

энергия отталкивания

U_от = . (1.17)

Сравнивая U_пр и U_от, получим |U_пр| = 8 U_{от .} (1.18)

3. Полная энергия

U = U_пр + U_от = - a . (1.19)

4. Молекула будет разорвана при максимальной силе F_max. Так как

F = - , то из уравнения находим межатомное расстояние, соответствующее максимальной силе:

(1.20)

. (1.21)

Из выражения (1.21) r_max = . (1.22)

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения

1. Известно, что в кристалле, в котором связи обусловлены силами Ван-дер-Ваальса, равновесное межатомное расстояние r₀ = 1,50 Å, а энергия на 10% меньше, чем в случае, когда учитываются только силы притяжения. Чему равна характерная длина , входящая в выражение: U = - . ОТВЕТ:   0,25 Å.

1.2. Энергия взаимодействия между двумя атомами в молекуле зависит от расстояния следующим образом:

U(r) = - .

Межатомное расстояние в положении равновесия r₀ = 3Å, энергия диссоциации (энергия расщепления нейтральной молекулы на противоположно заряженные ионы) молекулы U_д = - 4 эВ. Вычислить значения коэффициентов a и b, если n = 2, m = 10. Найти силы, стремящиеся вернуть атомы в положение равновесия при изменении межатомного расстояния r₀ на 10 %.

ОТВЕТ: a = 7,1610^-38 Джм²; b = 9,4410^-115 Джм¹⁰; F = 2,1310^-9 Н.

3. Вычислить значение энергии кристаллической решетки NaCl, если постоянная n, характеризующая потенциал сил отталкивания, равна 9,4 , а постоянная Маделунга 1,75. Постоянная решетки NaCl равна 2,81 Å.

ОТВЕТ: U = 8,6 10^-5 Дж/моль.

1.4. Экспериментальное значение энергии сцепления KCl на молекулу равно 6,62 эВ. Вычислить n, считая r₀ = 3.1 Å и  = 1,75.

ОТВЕТ: n  5,37.

1.5. Показать, что модуль всестороннего сжатия кубической кристаллической решетки

В = ,

где r₀ - расстояние между атомами в состоянии равновесия; V- объем кристалла.

ОТВЕТ: В = .

6. Вычислить энергию отталкивания для КСl, если энергия диссоциации равна (- 4,40) эВ. Принять r₀ = 2,79 Å, энергию ионизации атома калия равной 4,34 эВ, энергию сродства атома хлора к электрону – (-3,82 эВ).

ОТВЕТ: U_от = 0,24 эВ.

6. Найти сжимаемость кристалла NaCl при 0К, считая, что показатель экспоненты, определяющий величину сил отталкивания, равен m = 9,4. Постоянная Маделунга для NaCl равна 1,75.

ОТВЕТ: æ = 3,3 10^-11 м²/Н.

6. Рассмотреть к каким возможным последствиям для постоянной решетки, сжимаемости и энергии решетки, приведет удвоение заряда хлористого натрия, если считать, что потенциал отталкивания останется постоянным.

ОТВЕТ: Энергия решетки при увеличении заряда вдвое возрастет более чем в 4 раза, а сжимаемость уменьшится более чем в 4 раза.

6. Определить значение постоянной Маделунга для одномерной решетки, состоящей из последовательно чередующихся положительных и отрицательных ионов.

ОТВЕТ:  = 2ln2 = 1,386.

1.10. Используя метод, предложенный Эвьеном, вычислить значение постоянной Маделунга для кристалла типа NaCl.

ОТВЕТ:  = 1,75.

1.11. Получить выражение для модуля всесороннего сжатия кристалла с молярным объемом V₀ и общей энергией взаимодействия между атомами U_0, считая, что энергия взаимодействия между атомами определяется выражением U(r) = - .

ОТВЕТ: В= U₀ .