Теорема Баєса

Докладніше: Теорема Баєса

Теорема Баєса дозволяє переоцінити імовірності гіпотез після того, як стає відомим результат випробування, внаслідок якого з’явилась подія А.

Нехай подія А може настати за умови появи однієї з несумісних подій , що утворюють повну групу. Оскільки заздалегідь невідомо, яка з цих подій настане, їх називають гіпотезами. Ймовірність появи події А визначається за формулою повної ймовірності.

Припустимо, що проведено випробування, внаслідок якого з'явилася подія А. Поставимо своєю задачею визначити, як змінилися (у зв'язку з тим, що подія А вже настала) імовірності гіпотез. Іншими словами, будемо шукати умовні ймовірності 

Знайдемо спочатку умовну ймовірність . За теоремою множення маємо

Звідси

Розкриваючи P(A) за формулою повної імовірності, отримаємо:

Аналогічно виводяться формули, що визначають умовні ймовірності інших гіпотез, тобто умовна ймовірність будь-якої гіпотези Ві (і=1, 2, ..., n) може бути обчислена за формулою

9. Баєсова мережа (або Баєсова мережа довіри) — це імовірнісна модель, що представляє собою множину змінних і їх імовірнісних залежностей. Наприклад, баєсівська мережа може бути використана для обчислення ймовірності того, що хворий пацієнт за наявністю або відсутністю ряду симптомів, грунтуючись на даних про залежність між симптомами і хворобами.

Формально, байєсова мережа — це спрямований ациклічний граф, вершини якого являють змінні, а ребра кодують умовні залежності між змінними. Вершини можуть представляти змінні будь-яких типів, бути зваженими параметрами, прихованими змінними або гіпотезами. Існують ефективні методи, які використовуються для обчислень і навчання байєсівських мереж. Баєсівські мережі, які моделюють послідовності змінних, називають динамічними байєсовський мережами. Баєсівські мережі, в яких можуть бути присутніми як дискретні змінні, так і безперервні, називаються гібридними байєсовсовими мережами.

12. Формула Бернуллі

У теорії ймовірності, формула Бернуллі дозволяє обчислити ймовірність успіхів у серії незалежних експериментів.

Якщо ймовірність настання події в кожному з випробувань стала, то ймовірність того, що подія настане разів в незалежних випробуваннях дорівнює

 або

13.

Локальна теорема Муавра — Лапласа описує наближення нормального розподілу до біноміального розподілу. Є окремим випадком центральної граничної теореми.

Якщо , тоді для k в -околі точки np, існує наближення^[1]

Гранична форма теореми стверджує, що

для 

Інтегральна теорема Лапласа

Імовірність того, що подія А відбудеться від дораз при проведенніn незалежних випробувань, у кожному з яких подія А відбувається з імовірністю р, подається формулою:  —функція Лапласа;

17. Останній інтеграл не розв’язується в елементарних функціях. Тому для визначеного інтеграла вводиться функція

,

яка називається інтегралом імовірності (probability integrals). Для цієї функції складено таблиці її значень (додаток А). Після перетворень одержимо:

.

+ 

.               (3.2)

На рис. 3.5 зображено інтегральну функцію розподілу F(x).

Інтеграл ймовірностей має властивості:

1) ;

2); .

3) , інтеграл ймовірностей ‑ непарна функція.

Нехай . Знайдемо імовірність того, що нормально розподілена випадкова величина відхиляється від параметра а за абсолютною величиною не більше, ніж на , тобто Нерівність рівносильна нерівностям . Беремо в рівності (3. 2) , і одержимо:

,

Внаслідок того, що інтеграл ймовірностей непарна функція:

.

Тому (3.3)

Приклад 1. Нехай в. в. підпорядковується нормальному закону розподілу ймовірностей з параметрами, . Визначити:

1) ,

2) .

Розв’язання.

Використовуючи формулу (3.2), одержимо:

;

З таблиці (додаток А) знаходимо: , .

Отже, .

, .

За формулою (3.3)

.

20-21

20. Теорема Пуассона в теории вероятностей описывает способ получения распределения Пуассона как предел биномиальных распределений.

Пусть есть Пусть также дана последовательность такая, что

Тогда

22. Випадковою величиною є будь-яка (не обов'язково числова) змінна , "значення" якоїутворюютьмножину елементарних подій, або, іншими словами, позначають точки в просторі вибірок. Відповідний розподіл імовірностей називається розподілом випадкової величини .^[2]

Множина елементарних подій являє собою можливі значення випадкової величини, називаєтьсяобластю значень цієї величини