2. Математична модель

Через малу величину об'єму газу, що міститься між сусідніми частками шару, їх випромінюванням можемо знехтувати. Тому приймаємо, що теплообмін між продуктами згоряння і насадкою, а також між повітрям і насадкою здійснюється тільки конвекцією. Через малу величину діаметра кульок їх можна сприймати термічно тонкими тілами. Таким чином, можливо прийняти, що в кожній насадці відбувається теплообмін в нерухомому шарі, що складається з термічно тонких часток. Теплова робота насадки складається з багаторазово повторюваний циклів, що включають гарячий (димовий) і холодний (повітряний) періоди. Схема такої насадки показана на рис. 2.1.

Рис. 2.1- Схема насадки регенератора в гарячому (а) і холодному (б) періодах

Математична постановка завдання приведена нижче.

Для гарячого (димового) періоду:

• диференційне рівняння теплообміну для шару

, (2.1)

• диференційне рівняння теплообміну для диму

, (2.2)

початкові і граничні умови

, (2.3)

, (2.4)

Для холодного (повітряного) періоду:

• диференційне рівняння теплообміну для шару

, (2.5)

- диференційне рівняння теплообміну для повітря

, (2.6)

• гранична умова

, (2.7)

Об’ємний коефіцієнт тепловіддачі в шарі може бути розрахований за емпірічною формулою:

. (2.8)

Тут , і – температури шару, диму і повітря; x – координата, направлена по товщині шару; τ – час; ρ і c – густина і питома теплоємність матеріалу насадки; d – діаметр часток шару; ε – порозність шару; і  – швидкості диму і повітря на вільний перетин насадки; c_d і с_v– теплоємності диму і повітря; t_d0 і t_v0 – температури диму і повітря на вході в насадку; ‑ об’ємний коефіцієнт тепловіддачі; T – температура шару, К.

Основними показниками теплової роботи теплообмінника є температура підігріву холодного теплоносія (повітря) і значення коефіцієнта регенерації тепла, який може бути розрахований за формулою:

, (2.9)

де – температура повітря на виході з насадки.

Коефіцієнт регенерації показує, яка доля тепла, що надійшло в теплообмінник з гарячим теплоносієм, передається холодному теплоносію. Чим ближче значення коефіцієнта регенерації до 1, тим ефективніше функціонує теплообмінник.

3. Метод рішення

Для рішення поставленої задачі застосовуємо чисельний метод кінцевих різниць. С метою дискретизації задачі в розрахунковій області вводимо рівномірну вузлову сітку:

, i = 1,2,…,N ,

, n =0,1,2,… ,

де – крок сітки по координаті х; Δτ – крок по часу; N – число вузлів по координаті х.

Далі переходимо від безперервних функцій до сіткових, тобто визначених тільки в вузлах сітки: , і .

Апроксимуємо вихідну диференційну задачу системою алгебраїчних рівнянь. Для забезпечення стійкості рішення застосовуємо неявну різницеву схему:

- для димового циклу

, (3.1)

, (3.2)

, (3.3)

- для повітряного циклу

, (3.4)

, (3.5)

. (3.6)

Для рішення системи рівнянь (3.1)–(3.6) для кожного значення n+1 застосовуємо маршовий метод в напрямку руху теплоносія. Вираз (3.1) і (3.2) представимо у вигляді системи з двох лінійних алгебраїчних рівнянь:

(3.7)

де коефіцієнти при невідомих визначаються за наступними формулами:

, (3.8)

, (3.9)

, (3.10)

, (3.11)

, (3.12)

(3.13)

Рішення системи рівнянь (3.7) має вигляд:

, (3.14)

. (3.15)

Аналогічно отримуємо розрахункові формули для находження температур повітря і насадки в вузлах сітки для холодного періоду.

Розрахунок починається для гарячого періоду і виконується протягом заданої тривалості _p. Знаходяться температури гарячого теплоносія і насадки в вузлах сітки. Потім відбувається зміна типу теплоносія і напрямок його руху через насадку на протилежний. Після цього розрахунок продовжується протягом часу _p і визначаються температури холодного теплоносія і насадки в вузлах сітки. Після завершення моделювання одного циклу роботи насадки аналогічним чином розраховується зміна її температурного стану в наступному циклі і т.д. до встановлення квазістаціонарного стану.