MATHCAD_ИНОСТР_НОВАЯ2

ТЕМА 8 Нахождение корней уравнения f (x) 0

8.1. Краткие теоретические сведения

Для того, чтобы найти решение уравнения с одним неизвестным графическим способом, нужно, перенеся все члены его в левую часть, представить это уравнение в виде f (x) 0. После этого необходимо построить график функции y f (x). Абсциссы точек пересечения этого графика с осью X равны корням исходного уравнения. Если таких точек нет, то уравнение не имеет решений.

8.2 Задачи для выполнения лабораторных работ

Листинг 8.1. Найти корни уравнения sin(x) cos(x) 0, в интервале

x

Найти корни уравнения

Построение графика для определения количества корней уравнения

2

1

2

x

Задание начального приближения и нахождение корней уравнения

51

polyroots(v), которая в отличие от функции root не требует начального приближения. Эта функция возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные.

Аргумент v представляет собой вектор с перечнем коэффициентов полинома, начиная с младшего. При записи нельзя игнорировать нулевые коэффициенты (т.е. если полином третьей степени и отсутствует член со второй степенью x, то необходимо указать 0).

Листинг 8.2. Найти корни полинома 2x3 11x 5 0

Листинг 8.3. Найти корни полинома f (x) x4 6x3 12x2 10x 3

В данном примере имеются комплексные корни.

53

ТЕМА 9 Нахождение экстремумов функции

9.1. Краткие теоретические сведения

Исследование функции с помощью производной.

Теорема 1 (Необходимое условие экстремума функции). В точке экстремума производная обращается в нуль.

Теорема 2 (Достаточное условие экстремума функции).

Если в некоторой точке производная обращается в нуль и, кроме того, производная, проходя через неё, меняет свой знак, то в этой точке функция достигает экстремума.

Точки экстремума надо искать прежде всего среди корней производной!

Листинг 9.1. Найти экстремумы функции (min, max)

54

9.2. Задачи для выполнения лабораторных работ

Найти экстремумы функции (min, max)

Таблица 9.1. Варианты задач

2-ой способ нахождения локального экстремума

Для поиска локальных экстремумов имеются две встроенные функции:

Minimize( f ,x1,...xM )– вектор значений аргументов, при которых функция f достигает минимума;

Maximize( f ,x1,...xM )– вектор значений аргументов, при которых функция f достигает максимума;

f – функция;

x1,...xM – аргументы, по которым производится

минимизация (максимизация).

56

В качестве примера рассмотрим задачу численного поиска экстремумов полинома четвертой степени

f (x) x4 3x3 2x2 x 0.5 в интервале 0.7 x 1.8

57

ТЕМА 10 Линейная и полиномиальная аппроксимация

10.1. Краткие теоретические сведения

ЗАДАЧА. По данным експеримента (или табличным данным) определить функциональную зависимость. Выбрать вид кривой и определить коэффициент функциональной зависимости, которая описывает экспериментальные данные с ошибкой ±5%.

Линейная регрессия (1 способ)

Приближение данных (xi,yi ) осуществляется линейной функцией y(x) b0 b1 x. На координатной плоскости (x,y) линейная функция, как известно, представляется прямой линией. Еще линейную регрессию часто называют методом наименьших квадратов.

В соответствии с методом наименьших квадратов коэффициенты b0 и b1 находят из условия минимизации суммы квадратов отклонений между экспериментальными и вычисленными по расчетному уравнению значениями, т.е.

i1

N

F(yi (b0 b1xi ))2 min,

i1

где xi – экспериментальные значения фактора (входного параметра); yi – экспериментальные значения выходного параметра;

yi – вычисляемые по расчетному уравнению yi b0 b1xi значения выходного параметра;

N– размер выборки (количество экспериментальных точек)

N N N N N

58

59

Линейная регрессия (2 способ)

c использованием функций intercept(x, y), slope(x, y).

intercept(x, y) – коэффициент b0линейной регрессии;

slope(x, y) – коэффициент b1 линейной регрессии:

x– вектор действительных данных аргумента;

y– вектор действительных данных значений того же размера.

60